Kursplan för Differentialkalkyl och skalära ekvationer

Kursplan fastställd 2026-02-19 av programansvarig (eller motsvarande).

Kursöversikt

  • Engelskt namnDifferential calculus and scalar equations
  • KurskodTMV225
  • Omfattning7,5 Högskolepoäng
  • ÄgareTKMSK
  • UtbildningsnivåGrundnivå
  • HuvudområdeMatematik
  • InstitutionMATEMATISKA VETENSKAPER
  • BetygsskalaTH - Mycket väl godkänd (5), Väl godkänd (4), Godkänd (3), Underkänd

Kurstillfälle 1

  • Undervisningsspråk Svenska
  • Anmälningskod 44112
  • Sökbar för utbytesstudenterNej
  • Endast studenter med kurstillfället i programplan.

Poängfördelning

0108 Tentamen 7,5 hp
Betygsskala: TH		7,5 hp

I program

Examinator

Behörighet

Grundläggande behörighet för grundnivå
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från kravet

Särskild behörighet

Samma behörighet som det kursägande programmet
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från kraven

Kursspecifika förkunskaper


Syfte

Kursens syfte är att studera teorin och tillämpningen av den matematiska analysens differentialkalkyl, med tydlig koppling till analytiska och numeriska metoder för lösning av skalära ekvationer.

Kursen ska utveckla studentens förmåga att använda både analytiska och numeriska metoder samt programmering i Python som ett naturligt verktyg för modellering och beräkning. Genom att förena teori, beräkning och tillämpning stärks såväl den teoretiska förståelsen som den praktiska problemlösningsförmågan, vilket lägger en stabil grund för fortsatta studier inom matematik och teknik.

Studenten förväntas ha grundläggande kunskaper i programmering i Python, alternativt möjlighet att tillägna sig sådana kunskaper under kursens gång.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

  • Redogöra för grundläggande begrepp inom mängdlära och reell analys, såsom reella tal, följder av reella tal, konvergens och enkla egenskaper hos delmängder av R, och använda dessa för att analysera enkla matematiska problem samt översiktligt relatera dessa till datorrepresentation av reella tal.
  • Förstå och använda funktionsbegreppet samt analysera centrala egenskaper hos funktioner av en variabel, såsom elementära funktioner, med hjälp av algebraiska och grafiska metoder.
  • Formulera och tillämpa begreppen gränsvärde och kontinuitet för funktioner av en reell variabel samt bestämma och tolka gränsvärden med analytiska och numeriska metoder.
  • Formulera och tillämpa begreppen derivata och deriverbarhet, tillsammans med grundläggande deriveringsregler, för funktioner av en reell variabel samt använda derivata för att analysera funktioners lokala och globala egenskaper och för linjärisering.
  • Använda Taylorpolynom, potensserier och talserier för att approximera funktioner av en reell variabel, bestämma gränsvärden och analysera konvergens och konvergensområde.
  • Formulera skalära ekvationer som matematiska modeller för enklare tekniska problem och lösa dem med grundläggande numeriska metoder, samt översiktligt analysera fel och konvergens.
  • Implementera och använda numeriska algoritmer i Python för beräkningar inom kursens område samt analysera, tolka och skriftligt kommunicera modellval, beräkningsresultat och begränsningar i tekniska tillämpningar.

Innehåll

Reella tal: Mängdlära och logik; rationella och reella tal; talföljder och Cauchy-följder; supremum/infimum; öppna, slutna och begränsade mängder; datorrepresentation av reella tal (IEEE-754, maskinprecision).

Funktioner: Funktionsbegreppet, injektivitet/surjektivitet/bijektivitet, invers och restriktion; funktionsalgebra och sammansättning; polynom och rationella funktioner; elementära funktioner (potens-, exponential- och logaritmfunktionerna samt de trigonometriska funktionerna och arcusfunktionerna).

Gränsvärde och kontinuitet: Definition av gränsvärde och kontinuitet; likformig och Lipschitz-kontinuitet; symbolisk bestämning av gränsvärden (standardgränsvärden, omskrivningar) samt numerisk bestämning (Richardson-extrapolation).

Derivata och linjärisering: Derivatans definition; derivator av elementära funktioner; deriveringsregler (summa, produkt, kvot, sammansättning, invers); extremvärden; medelvärdessatsen; linjärisering och feluppskattning; numerisk derivata och val av steglängd.

Taylorpolynom och serier: Taylor- och Maclaurinpolynom; bestämning av gränsvärden med ordo-notation och L’Hôpitals regler; serier och konvergenskriterier; potensserier och konvergensradie; Taylorserier.

Numerisk ekvationslösning: Ekvationer, rötter och fixpunkter; bisektionsalgoritmen och Bolzanos sats; fixpunktsalgoritmen och Banachs fixpunktssats; Newtons metod; konvergensordning och villkor för konvergens.

Tillämpningar och programmering: Python som beräkningsverktyg; implementering, testning och validering; t.ex. beräkning av elementära funktioner, simulering av enkla mekaniska system och kemiska reaktioner.

Organisation

Undervisningen ges i form av föreläsningar samt lektioner i mindre grupper. Mer detaljerad information ges på kursens webbsida före kursstart.

Litteratur

S. Larsson, A. Logg, A. Målqvist, MATEMATISK ANALYS & LINJÄR ALGEBRA (I): Differentialkalkyl och skalära ekvationer

Examination inklusive obligatoriska moment

Examinationen sker i form av en skriftlig tentamen. Inlämningsuppgifter eller duggor som kan ge bonuspoäng till tentamen kan förekomma.

Kursens examinator får examinera enstaka studenter på annat sätt än vad som anges ovan om särskilda skäl föreligger, till exempel om en student har ett beslut från Chalmers om riktat pedagogiskt stöd på grund av funktionsnedsättning.