Kursplan för Integralkalkyl och ordinära differentialekvationer

Kursplan fastställd 2026-02-19 av programansvarig (eller motsvarande).

Kursöversikt

  • Engelskt namnIntegral calculus and ordinary differential equations
  • KurskodTMV151
  • Omfattning7,5 Högskolepoäng
  • ÄgareTKMSK
  • UtbildningsnivåGrundnivå
  • HuvudområdeMatematik
  • InstitutionMATEMATISKA VETENSKAPER
  • BetygsskalaTH - Mycket väl godkänd (5), Väl godkänd (4), Godkänd (3), Underkänd

Kurstillfälle 1

  • Undervisningsspråk Svenska
  • Anmälningskod 44119
  • Sökbar för utbytesstudenterNej
  • Endast studenter med kurstillfället i programplan.

Poängfördelning

0108 Tentamen 7,5 hp
Betygsskala: TH		 7,5 hp

I program

Examinator

Behörighet

Grundläggande behörighet för grundnivå
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från kravet

Särskild behörighet

Samma behörighet som det kursägande programmet
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från kraven

Kursspecifika förkunskaper


Syfte

Kursens syfte är att studera teorin och tillämpningen av den matematiska analysens integralkalkyl, med tydlig koppling till analytiska och numeriska metoder för lösning av ordinära differentialekvationer (ODE).

Kursen ska utveckla studentens förmåga att använda både analytiska och numeriska metoder samt programmering i Python som ett naturligt verktyg för modellering och beräkning. Genom att förena teori, beräkning och tillämpning stärks såväl den teoretiska förståelsen som den praktiska problemlösningsförmågan, vilket lägger en stabil grund för fortsatta studier inom matematik och teknik.

Studenten förväntas ha förkunskaper motsvarande inledande kurser i matematisk analys (differentialkalkyl) samt inledande programmering i Python.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

  • Redogöra för och tillämpa begreppet Riemann-integral för funktioner av en reell variabel, förstå integralens tolkning som area, använda analysens fundamentalsats samt översiktligt hantera generaliserade integraler och konvergensbegrepp för sådana.
  • Formulera ordinära differentialekvationer av första och högre ordning som matematiska modeller för tidsberoende fenomen, redogöra översiktligt för existens och entydighet samt lösa grundläggande klasser av ordinära differentialekvationer med analytiska metoder.
  • Formulera och analysera system av ordinära differentialekvationer av första ordningen i vektor- och matrisform, samt reducera högre ordningens ekvationer till sådana system.
  • Förstå och använda Laplace-transformen som ett verktyg för att analysera och lösa linjära begynnelsevärdesproblem, utnyttja grundläggande räkneregler för transformen samt hantera stegfunktioner och impulser.
  • Formulera begynnelsevärdes- och randvärdesproblem för ordinära differentialekvationer samt välja, tillämpa och översiktligt analysera grundläggande numeriska metoder för deras lösning, med avseende på till exempel konvergensordning, stabilitet och bevarande av relevanta storheter.
  • Implementera och använda numeriska algoritmer i Python för beräkningar inom kursens område samt analysera, tolka och skriftligt kommunicera modellval, beräkningsresultat och begränsningar i tekniska tillämpningar.
  • Använda klassiska analytiska metoder och grundläggande numeriska metoder för att beräkna integraler och använda integraler för att bestämma storheter såsom båglängd, area, volym och massrelaterade storheter i enkla modeller.

Innehåll

Integral: Area som gränsvärde; Riemann-summor; definition av Riemann-integral; medelvärdessatsen för integraler; analysens fundamentalsats; generaliserade integraler, absolutkonvergens och jämförelsekriteriet.

Beräkning av integraler: Variabelsubstitution (inklusive inverssubstitution), partiell integration och integration av rationella funktioner via partialbråk; båglängd, area och volym; rotationskroppar; numerisk integration (mittpunkt, trapets, Simpson); feluppskattning och konvergens.

Ordinära differentialekvationer: Klassificering av differentialekvationer (ordinära/partiella, ordning); existens och entydighet (Picards sats); första ordningens ODE (separabla med variabelseparation, linjära med integrerande faktor); reduktion från andra till första ordningens ODE; linjära ODE med konstanta koefficienter; Eulers ekvation.

System av ordinära differentialekvationer: Matris- och vektornotation; system av första ordningen med begynnelsevillkor; reduktion av högre ordningens ODE till system av första ordningen; existens/entydighet för system; elementära funktioner definierade via ODE.

Laplace-transform: Definition och linjäritet; skalning och exponentiell skalning; derivata/integral; faltning; stegfunktion och Diracs delta (impuls); lösning av begynnelsevärdesproblem.

Numerisk lösning av ordinära differentialekvationer: Begynnelsevärdesproblem; explicit/implicit Euler och mittpunktsmetoden; ordning och stabilitetsanalys (stabilitetsområde); energibevarande egenskaper; randvärdesproblem; finita elementmetoden i en variabel (stark/svag form, enkel assemblering).

Tillämpningar och programmering: Python som beräkningsverktyg för integration och ODE; implementering, testning och validering; t.ex. beräkning av massa och tyngdpunkt, enkla ekosystemmodeller och två- och trekroppsdynamik.

Organisation

Undervisningen ges i form av föreläsningar samt lektioner i mindre grupper. Mer detaljerad information ges på kursens webbsida före kursstart.

Litteratur

S. Larsson, A. Logg, A. Målqvist, MATEMATISK ANALYS & LINJÄR ALGEBRA (II): Integralkalkyl och ordinära differentialekvationer

Examination inklusive obligatoriska moment

Examinationen sker i form av en skriftlig tentamen. Inlämningsuppgifter eller duggor som kan ge bonuspoäng till tentamen kan förekomma.

Kursens examinator får examinera enstaka studenter på annat sätt än vad som anges ovan om särskilda skäl föreligger, till exempel om en student har ett beslut från Chalmers om riktat pedagogiskt stöd på grund av funktionsnedsättning.