Kursplan för Differentialkalkyl

• Redogöra för grundläggande begrepp inom mängdlära och reell analys, såsom reella tal, följder av reella tal, konvergens och enkla egenskaper hos delmängder av de reella talen, och använda dessa för att analysera enkla matematiska problem samt översiktligt relatera dessa till datorrepresentation av reella tal.

• Förstå och använda funktionsbegreppet samt analysera centrala egenskaper hos funktioner av en variabel, såsom elementära funktioner, med hjälp av algebraiska och grafiska metoder.

• Formulera och tillämpa begreppen gränsvärde och kontinuitet för funktioner av en reell variabel samt bestämma och tolka gränsvärden med analytiska och numeriska metoder.

• Formulera och tillämpa begreppen derivata och deriverbarhet, tillsammans med grundläggande deriveringsregler, för funktioner av en reell variabel samt använda derivata för att analysera funktioners lokala och globala egenskaper och för linjärisering.

• Använda Taylorpolynom för att approximera funktioner av en reell variabel och bestämma gränsvärden.

• Formulera skalära ekvationer som matematiska modeller för enklare tekniska problem och lösa dem med grundläggande numeriska metoder, samt översiktligt analysera fel och konvergens.

• Implementera och använda numeriska algoritmer i Python för beräkningar inom kursens område samt analysera, tolka och skriftligt kommunicera modellval, beräkningsresultat och begränsningar i tekniska tillämpningar.

Reella tal
Mängdlära och logik; rationella och reella tal; talföljder och Cauchyföljder; supremum/infimum; öppna, slutna och begränsade mängder; datorrepresentation av reella tal (IEEE-754, maskinprecision).

Funktioner
Funktionsbegreppet, injektivitet/surjektivitet/bijektivitet, invers och restriktion; funktionsalgebra och sammansättning; polynom och rationella funktioner; elementära funktioner (potens-, exponential- och logaritmfunktionerna samt de trigonometriska funktionerna och arcusfunktionerna).

Gränsvärde och kontinuitet
Definition av gränsvärde och kontinuitet; likformig och Lipschitz-kontinuitet; symbolisk bestämning av gränsvärden (standardgränsvärden, omskrivningar) samt numerisk bestämning (Richardson extrapolation).

Derivata och linjärisering
Derivatans definition; derivator av elementära funktioner; deriveringsregler (summa, produkt, kvot, sammansättning, invers); extremvärden; medelvärdessatsen; linjärisering och feluppskattning; numerisk derivata och val av steglängd; användning av derivata för att avgöra var en funktion är växande/avtagande och konvex/konkav; kritiska punkter och lokala extrempunkter; optimering; implicit derivering.

Taylorpolynom och serier
Taylor- och Maclaurinpolynom; bestämning av gränsvärden med ordo-notation och L’Hôpitals regler; Taylorserier.

Numerisk ekvationslösning

Ekvationer, rötter och fixpunkter; bisektionsalgoritmen och Bolzanos sats; fixpunktsalgoritmen och Banachs fixpunktssats; Newtons metod; konvergensordning och villkor för konvergens.

Tillämpningar och programmering
Python som beräkningsverktyg; implementering, testning och validering; t.ex. beräkning av elementära funktioner och simulering av enkla mekaniska system.