Kursplan för Flervariabelanalys och partiella differentialekvationer

Kursplan fastställd 2026-02-19 av programansvarig (eller motsvarande).

Kursöversikt

  • Engelskt namnMultivariable calculus and partial differential equations
  • KurskodMVE255
  • Omfattning7,5 Högskolepoäng
  • ÄgareTKMSK
  • UtbildningsnivåGrundnivå
  • HuvudområdeMatematik
  • InstitutionMATEMATISKA VETENSKAPER
  • BetygsskalaTH - Mycket väl godkänd (5), Väl godkänd (4), Godkänd (3), Underkänd

Kurstillfälle 1

  • Undervisningsspråk Svenska
  • Anmälningskod 44114
  • Sökbar för utbytesstudenterNej
  • Endast studenter med kurstillfället i programplan.

Poängfördelning

0108 Tentamen 7,5 hp
Betygsskala: TH		 7,5 hp

I program

Examinator

Behörighet

Grundläggande behörighet för grundnivå
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från kravet

Särskild behörighet

Samma behörighet som det kursägande programmet
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från kraven

Kursspecifika förkunskaper


Syfte

Kursens syfte är att studera teorin och tillämpningen av flervariabelanalys, med tydlig koppling till analytiska och numeriska metoder för lösning av partiella differentialekvationer (PDE).

Kursen ska utveckla studentens förmåga att använda både analytiska och numeriska metoder samt programmering i Python som ett naturligt verktyg för modellering och beräkning. Genom att förena teori, beräkning och tillämpning stärks såväl den teoretiska förståelsen som den praktiska problemlösningsförmågan, vilket lägger en stabil grund för fortsatta studier inom matematik och teknik.

Studenten förväntas ha förkunskaper motsvarande inledande kurser i matematisk analys (differentialkalkyl och integralkalkyl), linjär algebra samt inledande programmering i Python.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

  • Redogöra för och tillämpa grundläggande begrepp i analys av funktioner av flera variabler, såsom mängder, följder och konvergens i $R^n$, gränsvärden och olika typer av kontinuitet, samt formulera och använda begreppen derivata, gradient, Jacobi- och Hesse-matris, kedjeregel och Taylors sats för att analysera och approximera sådana funktioner, t.ex. genom linjärisering och numerisk derivata.
  • Formulera problem i flera variabler som system av ekvationer och optimeringsproblem, använda gradient och riktningsderivata för att finna stationära punkter, klassificera dessa med hjälp av Hesse-matrisen samt tillämpa Newtons metod och grundläggande metoder för optimering på kompakta mängder och under bivillkor.
  • Formulera och beräkna dubbel- och trippelintegraler, använda Fubinis sats för att separera integraler, genomföra variabelsubstitution med Jacobi-determinant (i t.ex. polära, cylindriska och sfäriska koordinater) samt tillämpa dubbel- och trippelintegraler för att bestämma medelvärden, masscentrum, tröghetsmoment och generaliserade integraler.
  • Formulera och beräkna kurvintegraler och ytintegraler för skalära fält och vektorfält, använda gradient, rotation och divergens och tillämpa Greens sats, Stokes sats och Gauss sats i enkla situationer, samt analysera konservativa och inkompressibla fält med tolkning i termer av arbete, cirkulation och flöde.
  • Formulera och använda grundläggande begrepp för diskretisering och approximation i flera dimensioner, såsom triangulering och tetraedernät, basfunktioner och funktionsrum av styckvis polynom samt barycentriska koordinater, och tillämpa dessa för interpolation, projektion och numerisk integration (kvadratur).
  • Formulera grundläggande partiella differentialekvationer med tillhörande rand- och begynnelsevillkor som modeller för stationära och tidsberoende fenomen, redogöra översiktligt för stark och svag formulering samt tillämpa finita elementmetoden för linjära problem, inklusive uppställning av svag form, styvhets- och massmatris, assemblering och användning av enkla tidsstegningsmetoder.
  • Implementera och använda numeriska algoritmer i Python för beräkningar inom kursens område samt analysera, tolka och skriftligt kommunicera modellval, beräkningsresultat och begränsningar i tekniska tillämpningar.

Innehåll

Differentialkalkyl i flera variabler: Mängder, följder och konvergens i $R^n$; gränsvärde och kontinuitet (inklusive likformig och Lipschitz-kontinuitet); deriverbarhet, derivata, partiella derivator, gradient, Jacobi- och Hesse-matriser; kedjeregeln; medelvärdessats och Taylors sats; linjärisering och numerisk derivata.

Ekvationslösning och optimering: Newtons metod för system; gradient och riktningsderivata; stationära punkter och klassificering via Hesse-matrisen; optimering på kompakta mängder och under bivillkor (Lagrange-metoden); översikt av inversa och implicita funktionssatserna.

Integralkalkyl i flera variabler: Dubbel- och trippelintegraler; Fubinis sats; variabelsubstitution och Jacobi-determinant (polära, cylindriska, sfäriska koordinater); medelvärden, masscentrum och tröghetsmoment; generaliserade integraler.

Kurvintegraler och ytintegraler: Kurv- och ytintegraler; arbete, cirkulation, flöde; gradient, rotation och divergens; Greens sats, Stokes sats och Gauss sats; konservativa och inkompressibla fält.

Diskretisering och approximation i flera dimensioner: Triangulering/tetraedernät; basfunktioner och funktionsrum av styckvis polynom; barycentriska koordinater; interpolation, projektion och kvadratur.

Numerisk lösning av PDE: Grundläggande begrepp för PDE; stark och svag formulering; rand- och begynnelsevillkor; grundläggande modeller (Laplace/Poisson, värmeledning, advektion–diffusion); finita elementmetoden för linjära problem, svag form, styvhets- och massmatris, assemblering och gles struktur; tidsstegning (explicit/implicit Euler, mittpunkt); icke-linjära problem och Newtons metod; visualisering.

Tillämpningar och programmering: Python som beräkningsverktyg för PDE: implementering, testning och verifiering; t.ex. advektion–diffusion, Schrödinger-ekvationen samt träning av neurala nät som en tillämpning av flervariabelanalys och gradientmetoden.

Organisation

Undervisningen ges i form av föreläsningar samt lektioner i mindre grupper. Mer detaljerad information ges på kursens webbsida före kursstart.

Litteratur

S. Larsson, A. Logg, A. Målqvist, MATEMATISK ANALYS & LINJÄR ALGEBRA (IV): Flervariabelanalys och partiella differentialekvationer

Examination inklusive obligatoriska moment

Examinationen sker i form av en skriftlig tentamen. Inlämningsuppgifter eller duggor som kan ge bonuspoäng till tentamen kan förekomma.

Kursens examinator får examinera enstaka studenter på annat sätt än vad som anges ovan om särskilda skäl föreligger, till exempel om en student har ett beslut från Chalmers om riktat pedagogiskt stöd på grund av funktionsnedsättning.