Kursplan för Linjär algebra och system av linjära ekvationer

Kursplan fastställd 2026-02-19 av programansvarig (eller motsvarande).

Kursöversikt

  • Engelskt namnLinear algebra and systems of linear equations
  • KurskodTMV166
  • Omfattning7,5 Högskolepoäng
  • ÄgareTKMSK
  • UtbildningsnivåGrundnivå
  • HuvudområdeMatematik
  • InstitutionFYSIK OCH ASTRONOMI
  • BetygsskalaTH - Mycket väl godkänd (5), Väl godkänd (4), Godkänd (3), Underkänd

Kurstillfälle 1

  • Undervisningsspråk Svenska
  • Anmälningskod 44122
  • Sökbar för utbytesstudenterNej
  • Endast studenter med kurstillfället i programplan.

Poängfördelning

0108 Tentamen 7,5 hp
Betygsskala: TH		 7,5 hp

I program

Examinator

Behörighet

Grundläggande behörighet för grundnivå
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från kravet

Särskild behörighet

Samma behörighet som det kursägande programmet
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från kraven

Kursspecifika förkunskaper


Syfte

Kursens syfte är att studera teorin och tillämpningen av linjär algebra, med tydlig koppling till analytiska och numeriska metoder för lösning av system av linjära ekvationer.

Kursen ska utveckla studentens förmåga att använda både analytiska och numeriska metoder samt programmering i Python som ett naturligt verktyg för modellering och beräkning. Genom att förena teori, beräkning och tillämpning stärks såväl den teoretiska förståelsen som den praktiska problemlösningsförmågan, vilket lägger en stabil grund för fortsatta studier inom matematik och teknik.

Studenten förväntas ha förkunskaper motsvarande inledande kurser i matematisk analys (differentialkalkyl och integralkalkyl) samt inledande programmering i Python.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

  • Förstå och använda begreppet geometrisk vektor i två och tre dimensioner, utföra enkel vektoralgebra samt använda begrepp såsom skalärprodukt, ortogonalitet, projektion och kryssprodukt för att beskriva och analysera räta linjer och plan i olika koordinatsystem samt beräkning av area och volym.
  • Formulera och analysera system av linjära ekvationer i vektor- och matrisform, använda Gauss-elimination för att lösa sådana system samt beskriva lösningsmängder med parametrisering och relatera dessa till begreppen linjärt oberoende och linjära avbildningar.
  • Redogöra för och använda grundläggande matrisalgebra och determinanter, förklara sambandet mellan determinant, inverterbarhet och lösbarhet för linjära ekvationssystem samt översiktligt använda matrisfaktoriseringar vid lösning av sådana system.
  • Formulera och använda begreppen vektorrum, underrum, bas, dimension och rang, arbeta med skalärprodukter, ortogonalitet och projektioner (t.ex. med hjälp av Gram-Schmidts metod) samt tillämpa dessa begrepp vid formulering och lösning av minsta kvadratproblem och i samband med tolkning av funktionsrum och generella skalärproduktsrum.
  • Förstå och använda begreppen egenvärde och egenvektor, avgöra om en linjär avbildning eller matris är diagonaliserbar och tolka diagonalisering i termer av egenbaser, samt tillämpa spektralsatsen för symmetriska matriser och relatera positivt definita kvadratiska former och positivt definita matriser till egenskaper hos egenvärdena.
  • Formulera och analysera numeriska metoder för lösning av linjära ekvationssystem och egenvärdesproblem, använda grundläggande direkta och iterativa metoder i enkla situationer samt översiktligt diskutera frågor om konditionstal, stabilitet och förkonditionering.
  • Implementera och använda numeriska algoritmer i Python för beräkningar inom kursens område samt analysera, tolka och skriftligt kommunicera modellval, beräkningsresultat och begränsningar i tekniska tillämpningar.

Innehåll

Geometriska vektorer: Vektoralgebra; skalärprodukt, ortogonalitet och projektion; koordinatsystem; kryssprodukt; räta linjen och planet.

System av linjära ekvationer: Vektoralgebra; Gauss-elimination med pivotering; vektorekvation och matrisekvation; lösningsmängden och parametrisering; linjärt oberoende; linjära funktioner (linjära avbildningar/transformationer).

Matriser: Matrisalgebra; invers matris; determinant; räkneregler för determinant; matrisfaktoriseringar och koppling till lösning av linjära ekvationssystem.

Linjära rum: Vektorrum och underrum; baser och komponenter; dimension och rang; skalärprodukt, ortogonalitet och projektion; Gram-Schmidts metod; minsta kvadratmetoden (normalekvationer/projektion); generella skalärproduktsrum; funktionsrum.

Egenvärdesproblem: Egenvärden och egenvektorer; diagonalisering och egenbas; spektralsatsen för symmetriska matriser och ortogonala egenbaser; kvadratiska former och diagonalisering; positivt definit kvadratisk form; positivt definit matris.

Numerisk lösning av system av linjära ekvationer: LU-faktorisering; iterativa lösningsmetoder (Jacobi, Gauss-Seidel, konjugerad gradient); konditionstal och förkonditionering; numerisk lösning av egenvärdesproblem (potensmetoden, inversa potensmetoden).

Tillämpningar och programmering: Python som beräkningsverktyg för linjär algebra; implementering, testning och validering av metoder; tillämpningar inom kurvanpassning med minsta kvadratmetod och lösning av linjära ODE-system via diagonalisering.

Organisation

Undervisningen ges i form av föreläsningar samt lektioner i mindre grupper. Mer detaljerad information ges på kursens webbsida före kursstart.

Litteratur

S. Larsson, A. Logg, A. Målqvist, MATEMATISK ANALYS & LINJÄR ALGEBRA (III): Linjär algebra och system av linjära ekvationer

Examination inklusive obligatoriska moment

Examinationen sker i form av en skriftlig tentamen. Inlämningsuppgifter eller duggor som kan ge bonuspoäng till tentamen kan förekomma.

Kursens examinator får examinera enstaka studenter på annat sätt än vad som anges ovan om särskilda skäl föreligger, till exempel om en student har ett beslut från Chalmers om riktat pedagogiskt stöd på grund av funktionsnedsättning.