En dag i augusti månad 1834 observerade den
då unga ingenjören John Scott Russel ett nytt fascinerande fenomen: en båt som
bogserades av hästar längs Union Canal i Skottland stannade plötsligt och en
stor "ensam" våg bildades vid båtens för och började färdas längs kanalen utan
synbara förändringar i varken form eller fart. Russel red efter vågen och
lyckades följa dess färd längs kanalen flera kilometer innan den till slut
försvann längs kanalens vindlingar. Denna typ av vågor som Russel upptäckte
fick (långt) senare namnet solitoner.
Russells observation och hans efterföljande
experimentella arbete ansågs av många samtida vetenskapsmän som högst
kontroversiella eftersom de inte kunde förklaras med existerande teorier och
matematiska modeller för vattenvågor. Det dröjde till 1877 innan den franska
matematikern och fysikern Joseph Boussinesq introducerade en ekvation, som
senare fick namnet Korteweg-de Vries ekvation (pga. dess återupptäckt av
Diederik Korteweg och Gustav de Vries), som gav en matematisk model för Russels
"ensamma"#160;vågor.
Nästa stora framsteg i solitonens historia
ägde rum först under 1960-talet: i numeriska simuleringar av Korteweg-de Vries
ekvation upptäckte Zabusky och Kruskal samma beteenden som Russels solitoner
och något senare lyckades Gardner, Greene, Kruskal och Miura explicit
konstruera ekvationens lösningar. Denna utveckling ledde till ett enormt
intresse för solitonekvationer, såväl deras matematiska egenskaper som deras
många tillämpningar, vilka nu inkluderar olika former av vattenvågor,
supraledare, akustiska vågor i kristaller och mycket mer.
Projektet är huvudsakligen en
litteraturstudie kring solitoner och Korteweg-de Vries ekvation: studenterna
kommer studera ekvationens ursprung och hur den kan lösas med hjälp av den så
kallade inversa spridningstransformationen, en icke-linjär kusin till
Fouriertransformen. Om intresse finns, kan exempel på tillämpningar och
datorsimuleringar av lösningar också ingå i projektet.
Obs! För GU-studenter räknas projektet som ett projekt i Tillämpad Matematik (MMG900/MMG920).
Projektkod MVEX01-18-09
Gruppstorlek 3-6
Förkunskapskrav Fourieranalys
Handledare Martin Hallnäs,