MVEX01-20-12 Bortom normalfördelning

​Nyckelord: statistiska modeller, oändlig varians och väntevärde, tunga svansar, kritisk Galton-Watson, Paretoprincipen, koalescent modell. 

Normalfördelning är ett av de viktigaste matematiska fynd som beskriver en responsvariabel som är en summa av flera oberoende förklarande variabler då ingen av de förklarande variablerna är dominerande (centrala gränsvärdessatsen). En klassisk modell för normalfördelningen baseras på slantsingling som genererar en slumpvandringsprocess. Ifall ett eller flera villkor i centrala gränsvärdessatsen inte är uppfyllda, vill man ha tillgång till andra statistiska modeller som fångar viktiga egenskaper hos naturliga företeelser.

  1. Slumpvandring med oändlig varians och slumpvandring med oändligt väntevärde. Genom att tillåta större steg i slumpvandringen vidgar man omfånget av centrala gränsvärdessatsen och kommer till så kallade stable distributions, se https://en.wikipedia.org/wiki/Stable_distribution
  2. En intressant modell som har koppling till punkt 1 är kritisk Galton-Watson process. Den beskriver en stor population av partiklar där varje partikel antingen försvinner eller delar sig i ett slumpmässigt antal nya partiklar. Om en partikel har i snitt 1 dotter hur varierar populationstorleken med tiden?
  3. Följande youtubefilmer illustrerar Paretoprincipen som leder till Paretofördelning:
    https://www.youtube.com/watch?v=F-I-BVqMiNI
    https://www.youtube.com/watch?v=U4GMUamUjT8
  4. Så kallade Kingmans koalescent är en elegant modell av koagulering som har en tydlig koppling till den första videon i punkt 3. Denna modell är ett viktigt redskap inom populationsgenetik.
Med detta projekt får ni en djupare förståelse av slumpfenomen genom att studera de fyra nämnda modellerna (eller någon av dem eller andra lämpliga statistiska modeller).
  1. Jag ger ett par inledande föreläsningar.
  2. Ni får titta i artikeln om Paretofördelning av rikedom från 2006
    https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0165176505002995
    och leta efter annan passande litteratur (med min hjälp).
  3. En viktig del av projektutförandet blir simuleringsstudier. 
  4. Ni kommer att upptäcka att Wikipedia alldeles för ofta saknar artiklar på svenska om viktiga begrepp om statistisk modellering bortom normalfördelning. Ni kanske har lust att bidra med en relevant artikel.
Projektkod MVEX01-20-12
Gruppstorlek 3-4 studenter
Målgrupp GU- och Chalmersstudenter. För GU-studenter räknas projektet som ett projekt i Matematisk statistik (MSG900/MSG910).
Projektspecifika förkunskapskrav
Se respektive kursplan för allmänna förkunskapskrav. Utöver de allmänna förkunskapskraven i MVEX01 ska Chalmersstudenter ha avklarat kurser i en- och flervariabelanalys, linjär algebra och matematisk statistik.
Handledare Serik Sagitov, http://www.math.chalmers.se/~serik/
Examinator Maria Roginskaya, Ulla Dinger
Institution Matematiska vetenskaper