Komplex geometri i jämvikt

​Robert Berman kom med i det då nystartade karriärprogrammet Wallenberg Academy Fellows redan 2012. År 2017 blev det ett förlängningsanslag, och strax före jul kom nästa steg då Robert blev utnämnd till Wallenberg Scholar. Vad har hänt under dessa år?

Robert BermanDet område som Robert ägnar sig åt inom ramen för Wallenberg-programmet är komplex geometri, även kallad Kähler-geometri. I slutet av sin doktorandtid upptäckte han ett nytt sätt att se på problemen inom området, och han beskriver det som att hitta en egen karta till en ny värld. Geometri handlar om att förstå former och om man tänker sig att man har en ojämn form så kan man försöka deformera den till en ”optimal” form – en form som är homogent krökt. Man kan jämföra med en dåligt pumpad fotboll som är bucklig, men som kan deformeras till en perfekt/optimal sfärisk form genom att helt enkelt blåsa upp den. Men de matematiska former man studerar i Kähler-geometri kan vara extremt komplicerade och är inte begränsade till den vanliga rummets tre dimensioner. För vissa former i Kähler-geometri misslyckas varje försök till deformation och formen bryts istället sönder. Frågan är varför? Kan man avgöra det på förhand?

Partiklar i jämvikt

Det nya i Roberts forskning är en idé om hur man kan utföra den sökta deformationen genom att tänka på situationen som ett problem i statistisk mekanik. Genom att sprida ut punkter (”partiklar”) över formen och ge precisa regler om hur de ska agera är tanken att de ska deformera formen så att den slutligen blir optimal, dvs homogent krökt. Det som startade projektet, som heter Komplex geometri i jämvikt, var att Robert hittade en lovande interaktionsregel. Den påminner om hur laddade partiklar repellerar varandra genom den elektriska kraften, men den skiljer sig också på flera avgörande sätt, speciellt eftersom den är icke-linjär.

– Det finns goda skäl till att något sådant här borde fungera. De vanliga former som vi är vana vid – som bordet och stolarna i det här rummet – består ju egentligen av interagerande partiklar, det vill säga atomer, i jämvikt. Formen är den ordnade struktur som uppträder ur partiklarnas underliggande mikroskopiska rörelser. Men för att skapa de optimala formerna i Kähler-geometri behövs en ny typ av växelverkan.

Under de första fem åren av projektet lyckades Robert bevisa att hans regel fungerar i hälften av fallen, för alla de former som är negativt krökta (vilket påminner om en sadels form). De positivt krökta formerna är ännu olösta. För sådana former behöver man låta partiklarna attrahera varandra istället för att repellera varandra. Men då finns risken att formen kollapsar, vilket skulle förklara varför vissa former i Kähler-geometri inte låter sig deformeras till en optimal form. Att detta inte alltid händer beror på att partiklarna också rör sig kaotiskt. På så vis skapas en tvekamp mellan den kaotiska oordnade rörelsen och den ordnade attraktiva rörelsen. För vissa former vinner attraktionen över den kaotiska rörelsen, och då bryts formen sönder.

Svarta hål deformerar rummet

Calabi-Yau-mångfaldVarför intresserar man sig då för dessa frågor? Jo, enligt Robert finns det flera goda skäl. De former som uppträder i Kähler-geometri beskriver bland annat lösningarna till algebraiska ekvationer. Sådana ekvationer uppträder i en lång rad av tillämpningar. Men även teoretiska fysiker är intresserade av Kähler-geometri i samband med studiet av en speciell typ av svarta hål. Ett svart hål uppstår när en stjärna kollapsat till en enda punkt, på grund av sin egen tyngd. Den kröker då rummet runt omkring sig, enligt Einsteins berömda teori för gravitationen. För ett år sedan lyckades man återskapa en bild av den runda form som utgörs av ett svarta håls händelsehorisont. Men enligt strängteorin skapar också ett svart hål en krökt form som är optimalt krökt i sex ”dolda” dimensioner, som beskrivs av Kähler-geometri. Även om det ännu bara är en teori så går det att studera matematiskt med metoder från Kähler-geometri. I framtiden kommer Robert att studera mer om kopplingarna till fysik, tillsammans med Daniel Persson på MV och en tidigare postdoc som nu är anställd på MIT.

– Det är spännande att koppla ihop min forskning med modern teoretisk fysik. Vi har hittat ett oväntat samband med en den så kallade Gauge/Gravitations-dualiteten, som introducerades av den teoretiske fysikern Juan Maldacena, verksam i Princeton, under 90-talet och som spelar en ledande roll i dagens försök att förstå de gåtor som fortfarande är förknippade med svarta hål.

Bro mellan matematik och fysik

Enligt denna “holografiska” dualitet kan den gravitation som uppstår av krökningen kring ett svart hål beskrivas med hjälp av en speciell typ av partikelfysik i ett platt (icke-krökt) rum, dold bakom det svarta hålets händelsehorisont. Det nya sambandet är som att hitta en bro som man kan gå fram och tillbaka på och förstå både matematiken och fysiken bättre. Det finns också oväntade kopplingar till AI som Robert och Daniel hoppas titta närmare på i framtiden. Man kan nämligen likna partiklarna, som sprids ut på formen, vid neuroner och deras interaktioner skapar ett slags neuralt nätverk.

Anslagen som Robert fått genom Wallenberg-programmen har gett honom möjlighet att utforska nya och originella idéer långsiktigt. Kähler-geometri är visserligen ett hett område inom matematiken, men Robert är ensam om sitt angreppssätt. Idéer från projektet kommer också till användning i annan forskning i Kähler-geometri, som Robert bedriver i samarbeten med forskare i Frankrike och USA. Förutom tid att fokusera på forskning ger medlen även möjlighet att anställa doktorander och postdoktorer och på så vis skapa en kreativ forskningsmiljö.

Text: Setta Aspström
Foto: Rakel Berman
Bild: Wikimedia Commons. Calabi–Yau-mångfalder är ett exempel på komplicerade former. De används främst inom strängteori.


Sidansvarig Publicerad: må 20 jan 2020.