Komplex analys och konvexitet

​Varken ”komplex” eller ”analys” är ord som är särskilt ovanliga i allmänspråket. Men den matematiska betydelsen av dessa ord är betydligt mer precis. Bo Berndtsson, professor i matematik, jobbar inom forskningsområdet Komplex analys.

Bo Berndtsson​– Analys inom matematiken, det är när man analyserar funktioner med hjälp av derivator och integraler. Det var framförallt Newton som på 1600-talet började använda analysen för att beskriva den fysikaliska verkligheten och visade att det går att räkna på och därmed förutsäga mekaniska förlopp, allt ifrån gevärskulor till planetbanor. Detta handlar om funktioner som beror på reella tal, som kan mätas t ex i tiden eller i rummet. En stor upptäckt under 1800-talet var nyttan av de komplexa talen, en matematisk konstruktion där man lägger till tal som inte finns i ”verkligheten”. Detta var till en början ett hjälpmedel i matematiken, t ex när man försökte lösa tredjegradsekvationer, men visade sig också vara väldigt användbart inom fysik. För att få fram komplexa tal så tar man alla de vanliga talen och lägger till kvadratroten av -1, vilket förkortat kallas i (från imaginär). Och när man har en funktion som beror både av reella och imaginära tal, då är det komplex analys.

Under 1900-talet var komplex analys något av en svensk specialitet. Den tongivande matematikern Mittag-Leffler forskade i området i början av seklet och traditionen fördes vidare av många framstående forskare som t ex Carleman, Beurling och Carleson. Bo började sin bana som ”ren komplexanalyst” men följde en trend  inom området och gick mer och mer mot geometri. För drygt tio år sedan satt han som prefekt på institutionen i tre år, och när han återvände till forskningen kändes det som om det var ett bra läge att starta med något nytt. Mer eller mindre av en slump hittade han ett samband mellan komplex analys och konvexitet.

Brunn-Minkowskis olikhet och dess komplexa motsvarighetEn konvex funktion är en funktion som kan illustreras med en kurva som är ”skålformad”. Man har länge känt till att konvexa funktioner spelar en roll för komplex analys men på ett ganska ytligt plan. Samtidigt har området konvex geometri vuxit fram. Det skenbart väldigt enkla begreppet ”konvexitet” har lett till en rik teori med många djupa och överraskande resultat.  Ett begrepp som framkom kallas för Brunn-Minkowskis olikhet, och Bo upptäckte en komplex version av denna.

– Det händer mycket när man jobbar med analogier. Många tror att matematik handlar om logik, att det är som ett logiskt spel med en uppsättning av regler för vilka slutsatser man får dra. Men det roliga är att komma på i vilken riktning som utvecklingen kan gå och vilka slutsatser som är intressanta, och för mig har analogier tagna från den konvexa geometrin givit intressanta saker att studera i komplex geometri. Överraskande nog har de visat sig vara bra även för andra matematiska områden, som Kählergeometri och Algebraisk geometri.

Forskningsgruppen, som kallas Komplex analys i flera variabler och omfattar ett tiotal personer, är framgångsrik i sin forskning och när det kommer till att få anslag och priser. Det finns en hel del samarbete inom gruppen, men också delgrupper vars forskning inte direkt berör varandra. Bo fick nyligen Eva och Lars Gårdings pris i matematik, ett pris som vartannat år delas ut i lingvistik och vartannat i matematik. Lars Gårding var en känd matematikprofessor vid Lunds universitet som dog 2014, och priset ska främja forskning och belöna vetenskaplig skicklighet i matematik.

– Jag har ett antal olika projekt på gång och det finns fortfarande många intressanta riktningar kvar att undersöka, men de lågt hängande frukterna inom området kanske är plockade nu, avslutar Bo.

Text: Setta Aspström
Foto: T. Sjöstedt: Bo Berndtsson vid statyn "The Oracle" av Tilda Lovell
Bild: Brunn-Minkowskis olikhet och dess komplexa motsvarighet


Sidansvarig Publicerad: ti 30 jan 2018.