Slumpmässiga tal och universums form i nya matematikprojekt

​Michael Björklund, biträdande professor, och Mingchen Xia, doktorand, vid Institutionen för matematiska vetenskaper, får anslag från matematikprogrammet i Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse. Michael Björklund får medel för att anställa en postdoktor från utlandet, och Mingchen Xia får finansiering för en tjänst som postdoktor i Frankrike. 
Knut och Alice Wallenbergs Stiftelses matematikprogram har pågått sedan 2014 och har fått mycket stor betydelse för matematikforskningen i Sverige. Det har gett de bästa yngre svenska matematikerna internationell erfarenhet genom att de får möjlighet att resa utomlands som postdoktorer. Samtidigt rekryteras både yngre och mer erfarna matematiker till Sverige från utlandet. Något som bidrar till att skapa starka forskningsmiljöer vid svenska universitet. 
– Målet med matematikprogrammet när vi startade det var att Sverige skulle återta en internationell tätposition inom området. Jag tycker att vi har kommit en bra bit på vägen. Svensk matematik har utvecklats väldigt positivt, det finns flera världsledande forskningsmiljöer och det har blivit attraktivt för internationellt ledande forskare att komma hit, säger Peter Wallenberg Jr, ordförande för Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse.

Slumpmässigheten hos bråk

Michael BjörklundMichael Björklund, biträdande professor vid Avdelningen för analys och sannolikhetsteori, Instutionen för matematiska vetenskaper, får anslag till en postdoktoral tjänst för att rekrytera en forskare från utlandet.

Hela tallinjen består av reella tal, varav en del utgörs av rationella tal, sådana som kan skrivas som en kvot av två heltal. Men de flesta reella talen går inte att uttrycka på det sättet – de är irrationella. Till de mest kända irrationella talen hör talet π och kvadratroten ur två, √2. Hur de irrationella talen bäst ska approximeras med rationella tal har i sin enklaste form varit väl förstått sedan drygt hundra år tillbaka. Inom området diofantisk approximation, som projektet handlar om, söker man utröna hur väl en approximation kan göras med rationella tal för ett givet reellt tal.

Ett sätt att närma sig frågan är att räkna antalet rationella tal som ger bra approximationer till ett givet reellt tal och vilkas nämnare ligger under en viss hög gräns. Det är känt sedan 1960-talet att för nästan alla reella tal växer deras antal mot oändligheten i en nästan exakt logaritmisk takt med den givna gränsen för nämnaren. Avvikelserna från denna takt uppfyller en viss form av den centrala gränsvärdesatsen, alltså en normalfördelning, vilket Michael Björklund nyligen har visat tillsammans med Alexander Gorodnik.

Syftet med projektet är att i nästa steg gå bortom normalfördelningen. Utgångspunkten för att förstå avvikelserna från normalfördelningen är den redan välkända analysen av summor av oberoende slumpvariabler och deras centrala gränsvärdesatser. Nu är slumpvariablerna i det studerade fallet bara delvis oberoende, men analogin kan visa sig fruktbar och leda till bättre uppskattningar än de hittills kända.​​​​

Universums form

Mingchen XiaoMingchen Xia, doktorand vid Avdelningen för algebra och geometri, Institutionen för matematiska vetenskaper, har tack vare sitt anslag erhållit en postdoktoral tjänst hos professor Sébastien Boucksom vid Ecole Polytechnique, Palaiseau, Frankrike. 

Tid och rum formar vårt universum. Teorin för hur de hänger ihop utvecklades på 1700-talet av Isaac Newton. Men i hans Principia Matematica var tiden och det tredimensionella rummet oberoende av varandra. De kopplades först samman i en gemensam rumtid nästan 200 år senare då James Clerk Maxwell insåg att ljusets hastighet i vakuum var konstant oberoende av vem som mätte den. Detta var bara möjligt om rum och tid betraktades som en helhet – en rumtid. 

Sin exakta matematiska beskrivning fick rumtiden i Albert Einsteins storverk – den allmänna relativitetsteorin som publicerades för drygt hundra år sedan. Teorin beskriver universums form som en fyrdimensionell yta. Formen avgörs av rymdens materieinnehåll – ju mer materia desto mer krökt blir ytan. Men vilken är formen på universum om det töms på all materia, hur ska ett tomrum beskrivas? Om det inte finns något alls – är universum helt platt då? Svaret förbryllade – det visar sig att relativitetsteorin faktiskt tillåter många icke-platta tomrum. 

Det exakta förhållandet mellan materia och formen på världsalltet ges i relativitetsteorin av en uppsättning differentialekvationer, de så kallade Einsteins fältekvationer. Fältekvationerna är ökänt svåra att lösa och flera olika tillvägagångssätt har utvecklats under det gångna seklet för att få fram direkta lösningar för rumtiden. Ett av de senaste är pluripotentialteorin, ett område inom den komplexa matematiska analysen. Planen är att med hjälp av dess metoder utforska tomrummets invecklade geometri.

Om Knut och Alice Wallenbergs Stiftelses matematikprogram

Programmet omfattar under åren 2014–2029 650 miljoner kronor för utresande svenska postdoktorer och internationell rekrytering av utländska postdoktorer samt gästprofessorer till svenska institutioner. Programmet inkluderar dessutom ett stöd på 73 miljoner kronor till Vetenskapsakademiens Institut Mittag-Leffler, ett av världens tio främsta matematiska institut.

​​​

Sidansvarig Publicerad: on 23 mar 2022.