KAW-logo, porträtt av Martin Raum, Andreas Rosén och Genkai Zhang

Symmetri och harmoni i fokus för ny matematikforskning

Modulära former, degenererade elliptiska operatorer och brutna symmetrier. Tre forskningsprojekt på Matematiska vetenskaper får anslag när Knut och Alice Wallenbergs Stiftelses matematikprogram delar ut 25 miljoner kronor till femton matematiker. Det ska räcka till att rekrytera tre forskare från utlandet till postdoktorala tjänster i Sverige. Dessutom får två nyligen disputerade anslag för en postdoktoral tjänst i utlandet.

Matematikprogrammet har haft stor betydelse för matematikforskningen i Sverige. Starka miljöer som gjort internationellt avtryck har utvecklats och blivit attraktiva för ledande forskare runt om i världen.

– Avancerade kunskaper i matematik är en viktig grund för många andra vetenskaper och för utvecklingen av ny teknik. Det visar inte minst den snabba utveckling som skett inom data driven life science, AI och kvantteknologi. Om Sverige ska fortsätta att hänga med i utvecklingen så är det viktigt att vi också har matematiker som ligger i framkant, säger Peter Wallenberg Jr, ordförande för Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse. 
Läs hela pressmeddelandet från Knut och Alice Wallenbergs stiftelse här.

Forskarna från Matematiska vetenskaper som fått anslag presenterar sina projekt nedan.

Ny teori när fysik möter matematik

Docent Martin Raum 

Porträtt Martin RaumAlltsedan utvecklingen av den matematiska analysen på 1600-talet har fysiken inspirerat utvecklingen inom matematik. Så sker även idag i fysikens teorier om allting, till exempel strängteorierna, som ska förena all känd materia och alla krafter i naturen i en enhetlig teori. I den nyutvecklade matematiken för strängteorierna spelar modulära former en central roll. Det är också modulära former som är basen för mitt planerade projekt.

Modulära former är matematiska funktioner som uppfyller vissa speciella symmetrivillkor. Alltsedan de skapades för två hundra år sedan har de spelat en viktig roll för utvecklingen av talteorin och andra grenar av matematiken. Numera finns det många olika typer av modulära former och generaliseringar av dessa. Att finna en ny klass modulära former ingår som en del av det planerade projektet. 

Modulära former hjälper även till att förstå många fenomen som involverar geometriska objekt. Till dem hör de små strängar som är strängteoriernas grundobjekt. När strängarna kolliderar kan de smälta samman till nya strängar. Sannolikheten för att detta ska ske beskrivs av strängamplituder, vilka visar sig passa överraskande väl in i ett aritmetiskt ramverk som är nära besläktat med så kallade motiviska perioder i matematiken. Ett syfte med projektet är att med bidrag från strängteorin bygga upp en bredare teori som ska beskriva sambandet mellan olika motiviska perioder i familjer av geometriska objekt. 

Degenererade elliptiska operatorer med breda tillämpningar

Professor Andreas Rosén 

Porträtt Andreas RosénDen harmoniska analysen är en gren av matematiken som utvecklades i början av 1800-talet av den franske matematikern Joseph Fourier i hans studium av värmeledningsekvationen. För att komma fram till lösningen uttryckte han allmänna funktioner som oändliga serier av harmoniska svängningar, fourierserier. Det planerade projektet handlar om att utveckla tekniker från harmonisk analys för att studera material där värmeledningsförmågan varierar stort i olika riktningar.

Vid sidan av fourierserierna finns det numera många fler sätt att utveckla funktioner som oändliga serier av en uppsättning basfunktioner. Till exempel wavelets som när de kom på 1980-talet revolutionerade den harmoniska analysen. Drivkraften bakom utvecklingen kom mycket från tillämpningarna – wavelets används idag brett för att komprimera, lagra och återskapa data, bland annat inom elektroteknik, bild- och signalbehandling.

I början av 2000-talet kom nya genombrott då den harmoniska analysen utvecklades vidare i nära relation till men bortom wavelets. Andreas Rosén är expert på dessa nya metoder och har tillämpat dem på så kallade elliptiska partiella differentialekvationer. Den planerade studien rör de ekvationer där värmeledningsförmågan i vissa punkter tillåts vara oändlig eller noll och där kunskapen fortfarande är ofullständig. Hur mycket får ekvationskoefficienterna variera innan teorin bryter samman? Och hur blir det i de fall där värmeledningsförmågan tillåts vara både noll och oändlig i en och samma punkt, fast i olika riktningar där?

På jakt efter brutna symmetrier 

Professor Genkai Zhang 

Porträtt Genkai ZhangDet planerade projektet handlar om representationsteori, som är en studie om abstrakta algebraiska strukturer genom att låta dem representeras av enklare och mer välbekanta strukturer i analytiska sammanhäng. Metoderna används inte bara inom algebra utan även inom andra områden som geometri och teoretisk fysik. Bland annat används representationsteori i standardmodellen för partikelfysik.

Nyckelbegreppet här är symmetri. Till vardags tänker vi oftast på symmetri som en spegelbild, men det finns många andra symmetrier som länge har varit centrala både inom matematik och teoretisk fysik. Som exempel kan man betrakta två barn som gungar på en bräda: Vertikala och diagonala symmetrier kan placeras i en större grupp, och när man undersöker bara en av dessa två så är symmetrier brutna. Symmetribrott ligger bland annat bakom upptäckten av många nya elementarpartiklar. Regler för symmetribrott (som av matematiker kallas förgreningsregler) inom representationsteorin är ämnet för detta projekt.

Symmetrier kan vara svåra att upptäcka. Ett sätt att finna dem är att studera deras verkan, det vill säga deras representationer på tillstånd som är manifestationer av symmetrier. En sådan studie kan bli lättare att hantera om representationen begränsas till en mindre grupp av symmetrier. Regler för sådana begränsningar är just förgreningsreglerna. Inom projektet kommer forskarna att söka efter och studera förgreningsregler för vissa begränsade representationer med hjälp av metoder från matematisk analys och geometri.

Anslag till postdoktoral tjänst utomlands

Dessutom har Antonio Trusiani och Milo Viviani, som båda disputerade vid Matematiska vetenskaper under 2020, tilldelats anslag för postdoktorala tjänster vid Institut de Mathématiques de Toulouse, Frankrike, respektive Scuola Normale Superiore, Pisa, Italien.

Läs mer om deras projekt hos Stiftelsen Knut och Alice Wallenberg


Sidansvarig Publicerad: ti 27 apr 2021.