Trefärgsmodell och sexvertexmodell
​I trefärgsmodellen färgar man ett rutnät med tre olika färger enligt regeln att intilliggande rutor ska ha olika färg. I sexvertexmodellen finns ett flöde av pilar som går in i rutnätet uppifrån och nerifrån och ut till höger. Ett flöde av pilar kan också starta i svängarna.

Från trefärgningar till kristaller och magnetiska material

​Linnea Hietalas forskning handlar om en viss typ av rutnätsmodeller och den så kallade partitionsfunktionen. Den kan användas till att beskriva sannolikheten för att partiklarna i ett material har lagt sig i en viss ordning, och räkna antalet möjliga ordningar.

​Matematiska modeller är grundläggande för många olika forskningsområden, och en del av den matematiska forskningen handlar om att bygga upp en kunskapsbank om de komplicerade matematiska funktioner som beskriver olika modeller. Inom fysik används modeller bland annat för att beskriva olika material. Genom att beskriva ämnets partiklar ordnade i ett rutnät kan man ge en förenklad bild, till exempel av hur vattenmolekylerna kan lägga sig i is eller för att beskriva andra kristaller. De flesta sådana modeller är alldeles för komplicerade för att beskriva exakt, men vissa specifika modeller har en matematisk struktur som gör att man kan studera dem utan förenklingar.

Linnea Hietala– Ett enkelt exempel på en modell är den så kallade trefärgsmodellen, där man färgar ett rutnät med tre olika färger enligt regeln att intilliggande rutor ska ha olika färg. Man utgår från ett rutnät av en given storlek, där färgen på varje ruta längs kanten är förutbestämd, och frågar sig hur man kan färga rutorna inuti rutnätet. Partitionsfunktionen beskriver då antalet möjliga sätt att färglägga hela rutnätet. Detta är förstås en extrem förenkling, i min forskning hör det en komplicerad matematisk funktion till varje färg, men om varje sådan funktion förenklas till 1 så beskriver partitionsfunktionen just antalet möjliga trefärgningar.

Partiklars spinn pekar i olika riktningar

Partiklar som elektroner och protoner har enligt kvantmekaniken en egenskap som heter spinn, som kan peka i olika riktningar. I icke-magnetiska material kan spinnen peka i alla möjliga slumpmässiga riktningar medan de i magnetiska material ordnar sig så att de antingen pekar åt samma håll eller exempelvis med vartannat spinn åt motsatt håll. Spinnet i ett magnetiskt material kan beskrivas med hjälp av upp- och nerpilar i ett rutnät eller på en lång rad i en kedja och när man studerar dessa kedjor dyker särskilda funktioner upp. Linneas forskning visar hur dessa funktioner kan beskrivas med hjälp av trefärgsmodellen, vilket är ett steg på vägen till att förstå spinnkedjorna bättre.

Linnea har också hittat en förenklad formel för partitionsfunktionen till en viss rutnätsmodell. I modellen är det ett flöde av pilar som går in i rutnätet uppifrån och nerifrån och ut till höger. På vänstra sidan svänger pilarna runt ett hörn så att en pil går ut ur rutnätet och en annan pil pekar tillbaka in, och modellen skiljer sig från de tidigare genom att ett flöde av pilar också kan starta i svängarna så att båda pilarna i svängen pekar in mot rutnätet. Med hjälp av liknande modeller har man kunnat beräkna hur pass bra ett enkelt, ungefärligt tillstånd överensstämmer med det mer komplicerade, exakta tillståndet för ett av de enklaste magnetiska materialen. Linneas modell är mer generell, vilket gör att man kanske kan använda resultaten till att beskriva samma sak för mer komplicerade magnetiska material och förstå deras egenskaper bättre.
– Sådana potentiella tillämpningar är så klart viktiga, men för mig är det själva matematiken i modellerna som är det intressanta.

Bytte matematikområde

Linnea har alltid varit fascinerad av matematik och fick i åttonde klass göra sin prao genom att följa doktorander på Luleå tekniska universitet, men det var inte förrän hon själv började läsa matematik som hon förstod att man faktiskt kan hålla på med ämnet på heltid. Grundutbildningen gjorde hon på Mittuniversitetet, som är mycket inriktade mot komplex analys. När hon fick en doktorandplats i Göteborg ville hon gärna pröva något annat område, och efter att ha pratat med de olika föreslagna handledarna bestämde hon sig för denna del av matematisk fysik. Det senaste året har Linnea bland annat undervisat inledande matematik för högskoleingenjörer i kemiteknik. Hon skulle gärna vilja fortsätta undervisa på universitetet och har sökt gästlärartjänster. Och naturligtvis hoppas hon även i någon mån kunna fortsätta sin forskning.

– Det hade varit bra om man under doktorandtiden fått veta mer om vad man kan göra sedan. Fakulteten hade en sådan dag där de hade sett till att få med en matematiker, det var bra. Doktoranderna på institutionen ordnade också själva en karriärsdag i höstas och det var då något helt nytt. Även det här med hur man skriver pedagogisk portfölj hade varit bra att få veta mer om på ett tidigt stadium, så att man kan bygga på den kontinuerligt.

Linnea Hietala disputerar i matematik med avhandlingen ”Combinatorics of solvable lattice models with a reflecting end”, fredag den 28 maj kl 13.00 i sal Pascal, och via Zoom. Handledare är Hjalmar Rosengren, biträdande handledare Jules Lamers.

Text: Linnea Hietala/Setta Aspström
Foto: Fredrik Russmann
Bild: Linnea Hietala


Sidansvarig Publicerad: to 20 maj 2021.