Skuren FEM på överlappande nät
​Exempel på när skuren FEM på överlappande nät kan tillämpas. Med standard FEM (övre raden) deformeras beräkningsnätet när propellern roterar. Ett nytt nät måste då räknas fram vilket kräver tid och beräkningskraft. Med skuren FEM på överlappande nät (nedre raden) räcker det att räkna fram beräkningsnäten en enda gång.
​Figur: Carl Lundholm

Effektivare sätt att approximera fysikaliska fenomen

​Carl Lundholm tog sig an ett matematikproblem för värmeledningsekvationen i sitt examensarbete. Sju år senare disputerar han med bland annat ett helt nytt analysramverk för samma problem.

Carl LundholmNär man ska beskriva fysikaliska fenomen som värmeöverföring och fluidströmning matematiskt använder man sig vanligen av differentialekvationer. Ofta går dessa inte att lösa exakt, utan man får använda sig av metoder som ger approximativa lösningar. En av dessa metoder är finita element-metoden, FEM. Med denna delar man upp (diskretiserar) det geometriska område där man vill lösa differentialekvationen (lösningsdomänen) i många små delar. Ju fler delar man har, desto noggrannare blir den approximativa lösningen. Diskretiseringen av lösningsdomänen ger upphov till ett beräkningsnät som vanligtvis består av trianglar (i två dimensioner) eller tetraedrar (i tre dimensioner).

Anta nu att lösningsdomänen innehåller ett objekt som rör på sig. Ett exempel är om man har en snurrande propeller och vill veta hur den får det omgivande vattnet att strömma. Trianglarna i beräkningsnätet deformeras när propellern rör sig och när deformeringen gått för långt så måste man kassera sitt beräkningsnät och räkna fram ett nytt, vilket tar tid och beräkningskraft. Om man slapp skapa nya beräkningsnät hela tiden skulle man kunna lösa komplicerade problem snabbare och billigare. Och det är här som Carls forskning om skuren FEM (CutFEM) på överlappande nät kommer in i bilden: med denna metod kan man skapa ett beräkningsnät kring objektet (propellern) och ett annat i den tomma lösningsdomänen, och flytta in det ena ovanpå det andra och låta det röra på sig. Då mehöver man bara räkna fram sina beräkningsnät en enda gång. En klurighet med skuren FEM är dock att få ihop lösningen i skarven mellan de båda näten så sömlöst som möjligt.

Analys och tillämpningar

Innan man börjar tillämpa en approximativ lösning på verkliga problem måste man veta att den producerar bra approximationer till den exakta lösningen – man analyserar metoden. Fram tills nu har analys av skuren FEM på överlappande nät enbart gjorts för stationära (tidsoberoende) problem. En stor del av Carls avhandling handlar därför om att analysera sådana metoder för tidsberoende problem.

Tillämpningarna i avhandlingen handlar istället om stationära problem. Ett exempel är att man vill bygga flera hus på en ö och placera dem så lite utsatta för vind som möjligt men samtidigt med bästa möjliga utsikt. Vinden beskrivs då med en differentialekvation och ett beräkningsnät för FEM skapas. För att inte behöva skapa ett nytt nät så snart som man prövar en annan placering av husen använder Carl överlappande nät, och kan använda dem om och om igen för alla konfigurationer.

Det viktigaste bidraget i avhandlingen handlar om ett nytt analysramverk. Arbetet som ledde fram till det började Carl som sagt med redan i sitt examensarbete. Han och hans handledare Anders Logg och Mats G. Larson tog då det enklaste tidsberoende problemet, värmeledningsekvationen, och försökte säga något om den med skuren FEM på överlappande nät. Den mer krävande L2-analysen fungerade inte. Då prövade de dels med en enklare energianalysen, dels med enklare nätrörelser då det gick att använda L2-analysen. Eftersom befintliga analysmetoder inte fungerade så fick de med tiden uppfinna ett nytt analysramverk som gjorde det. Det nya analysramverket verkar därmed vara robustare än tidigare existerande sådana.

Ville stänga så få dörrar som möjligt

– Jag läste Kemiteknik med fysik på kandidatnivå och ville delvis hålla det så brett som möjligt, och då hamnade jag här, i matematiken. Jag gillar också idén om att observera naturen och beskriva den matematiskt för att få en djupare förståelse och kunna förutsäga den, vilket FEM bidrar till. FEM har också tilltalat mig för att det både involverar teoretisk analys och mer praktisk programmering.

Att brottas med ett problem till och från i flera år har varit både motiverande och frustrerande. Många ”bra” idéer har sedan visat sig inte fungera, men som Carl säger, man kör på ändå eftersom man vill få gjort sitt lilla bidrag till matematiken. Att doktorandtiden här i Sverige innehåller både forskning, undervisning och kurser har också sina sidor, men Carl tycker att de goda överväger – det är visserligen jobbigt när man behöver tiden till forskningen, men bra avbrott när man kör fast och också kan få lite nya idéer och verktyg. Att undervisa är bra för att rekapitulera grunderna och få bekräftat vad man kan.

– Det finns nog inget matematikområde som jag är helt ointresserad av och det är roligt att lära sig något helt nytt och bli påmind om varför man började i första hand. Men det kan ta tid att sätta sig in i något på djupet, och ibland behöver man inte gå hela vägen till salstentamen för att det ska vara givande.

Härnäst planerar Carl att söka en postdoktorstjänst i Umeå där han kan fortsätta att arbeta med det nya analysramverket och tillämpa det på andra problem för att se hur väl det står sig. Det fungerar väl på standardproblem, men det gör även andra metoder, så nu är han intresserad av att studera bland annat ”konstiga” diskretiseringar, till exempel om man har ett beräkningsnät som deformeras.

Carl Lundholm disputerar i matematik med avhandlingen Cut Finite Element Methods on Overlapping Meshes: Analysis and Applications, tisdag den 29 juni kl 13.15 via Zoom. Handledare är Anders Logg, biträdande handledare Mats G. Larson och Klas Modin.

Text och foto: Setta Aspström


Sidansvarig Publicerad: må 21 jun 2021.