Analys av approximationer

​Ibland är det omöjligt eller mycket komplicerat att lösa ekvationer exakt. Christoffer Standar har i sin avhandling arbetat med approximationer till partiella differentialekvationer.

Foto Christoffer StandarFör att modellera olika fysikaliska fenomen används ofta partiella differentialekvationer (PDE). En del av dessa är mycket komplicerade att beräkna exakt, och för en del är det inte ens möjligt. Då använder man sig av approximationer. Det man då vill veta är att den approximativa lösningen ligger tillräckligt nära den exakta, det vill säga att den konvergerar mot den exakta lösningen. Christoffer har huvudsakligen tittat på ett system av PDE som kallas Vlasov-Maxwell. Vlasov-Maxwell används ofta för att modellera plasma. I sitt arbete visar Christoffer att approximationerna för detta system är tillräckligt nära de exakta lösningarna, en så kallad a priori feluppskattning.

Christoffer har också studerat a posteriori feluppskattningar för Vlasov-Maxwell-systemet. Här vill man ha en beräkningsbar uppskattning av skillnaden mellan den exakta lösningen och approximation. Då kan man få information om hur stort felet kan vara, eller var felet är stort. Om felet är stort i en del av området förfinar man beräkningarna just där. På samma sätt har han arbetat med approximationer av Schrödinger-ekvationen, som används inom kvantmekanik. Allt arbetet har utförts inom den finita elementmetoden, där a priori och a posteriori feluppskattningar är två stora moment.

Problemen kommer ursprungligen från fysikvärlden, men Christoffer har själv inte läst fysik på universitetsnivå. Han tycker att det hade varit roligt med lite bakgrundsförståelse, men det spelar ingen roll för att kunna räkna på ekvationerna. Matematik däremot har alltid intresserat honom, och under större delen av sin tid i grundskola och gymnasium hade han planer på att bli matematiklärare. I slutet av gymnasietiden fick han reda på att Göteborgs universitet hade ett matematikprogram.

– Jag tittade lite på lärarprogrammet, men mitt intresse för matematik var så stort. Och Matematikprogrammet är verkligen ett fantastiskt program, man får god koll på de olika områdena inom matematiken och märker vad man är intresserad av och inte. Jag läste mestadels kurser inom algebra och analys, och gjorde mitt examensarbete inom komplexanalys. Men när det dök upp en doktorandtjänst inom beräkningsmatematik kändes även den intressant.

Doktorandtiden har varit bra år tycker Christoffer, med en bra arbetsmiljö där man träffat mycket folk inom matematiken, inte minst genom de seminarier som hålls kontinuerligt. Inom beräkningsmatematik har man till exempel seminarieserien Computational and Applied Mathematics. Lärarplanerna är dock inte bortglömda, härnäst tänker Christoffer läsa en kompletterande pedagogisk lärarutbildning (KPU) och skaffa sig en lärarexamen.

– Under min tid här så har faktiskt undervisningen varit något av del allra bästa. Det är något speciellt med att undervisa, att kunna nå ut och hjälpa studenterna. Jag har undervisat både breda baskurser och avancerade kurser inom till exempel finita elementmetoden och transformer. På en mer avancerad kurs ligger det extra mycket ansvar på de som undervisar för att studenterna verkligen ska förstå, och man känner att man verkligen gör stor nytta. Helst skulle jag vilja undervisa på universitetsnivå i framtiden, men jag inser att det kan vara svårt att få en fast tjänst.

Christoffer Standar disputerar i matematik med avhandlingen On finite element schemes for Vlasov-Maxwell system and Schrödinger equation, fredag den 15 december kl 10.15 i sal Pascal, Hörsalsvägen 1.

Text och foto: Setta Aspström


Publicerad: fr 08 dec 2017.