Egenskaper för slumpmässiga punktmönster

Punktmönster kan till exempel beskriva konfigurationer av atomer eller molekyler, och det finns ett behov inom statistisk fysik och materialvetenskap av att förstå punktmönster med långväga beroenden. Långväga beroenden hade studerats matematiskt tidigare i olika kontexter, men ett paradigmskifte skedde på 1980-talet, då förekomsten av så kallade kvasikristaller påvisades genom fysiska experiment. Här fanns helt nya material med egenskaper som man inte tidigare känt till.

Hyperuniformitet för negativt krökta geometrier

Kvasikristaller har inte exakt upprepande mönster och det är här de långväga beroendena kommer in. Även begreppet hyperuniformitet, som är ett centralt begrepp i avhandlingen, är relaterat till detta. Det finns idag ett väldefinierat matematiskt ramverk för hyperuniformitet i Euklidiska rum men Mattias har undersökt begreppet för andra geometrier, som de negativt krökta geometrierna i hyperboliska rum och reguljära träd.

– Något som avhandlingen kommer fram till är att den konventionella definitionen av hyperuniformitet inte är lämplig i dessa geometrier. I stället för att studera ett storskaligt beteende bör man studera det småskaliga beteendet av punktprocessens effektspektrum. Den här spektrala bilden generaliseras väl till dessa andra geometrier, och ser ut att vara en lovande väg att gå.

Det finns många intressanta frågor inom fältet att fortsätta med, först och främst skulle Mattias vilja hitta nya exempel på punktprocesser i negativt krökta geometrier som ger det här beteendet. Ett matematiskt ramverk är på plats men det finns ännu ganska få exempel som stödjer det.

Bytte kandidatprogram

Matematik var inte något favoritämne för Mattias förrän i slutet av gymnasiet, då han förstod matematikens koppling till de problem inom fysik och kemi som han gillade. Han började sedan på kandidatprogrammet Teknisk matematik på Chalmers, men fick inte nog med matematik där utan bytte över till matematikprogrammet på Göteborgs universitet. Sedan blev han rekommenderad att söka doktorandtjänst, och här är vi nu!

– Det är en väldigt trevlig social miljö på institutionen, det finns alltid någon i lunchrummet som man kan umgås med. Jag tycker också att det har varit väldigt trevligt att undervisa, man får tänka igenom saker på ett annat sätt när man ska förklara dem för någon annan. Jag hoppas få fortsätta med undervisning i framtiden, oavsett vad det blir.

Närmast kommer Mattias från och med hösten att ha en tvåårig postdoktorstjänst i Wien, för en professor som han fått kontakt med under sin doktorandtid.

Mattias Byléhn disputerar i matematik med avhandlingen Hyperuniformity and hyperfluctuations for random measures on Euclidean and non-Euclidean spaces, onsdag den 28 maj kl 13.15 i sal Euler, Skeppsgränd 3. Handledare är Michael Björklund, biträdande handledare är Anders Södergren.