Kursplan för Stokastisk analys

Kursplan fastställd 2021-02-26 av programansvarig (eller motsvarande).

Kursöversikt

  • Engelskt namnStochastic calculus
  • KurskodTMS165
  • Omfattning7,5 Högskolepoäng
  • ÄgareMPENM
  • UtbildningsnivåAvancerad nivå
  • HuvudområdeMatematik
  • InstitutionMATEMATISKA VETENSKAPER
  • BetygsskalaTH - Mycket väl godkänd (5), Väl godkänd (4), Godkänd (3), Underkänd

Kurstillfälle 1

  • Undervisningsspråk Engelska
  • Anmälningskod 20116
  • Sökbar för utbytesstudenterJa

Poängfördelning

0104 Tentamen 7,5 hp
Betygsskala: TH
7,5 hp
  • 24 Okt 2023 fm J

I program

Examinator

Gå till kurshemsidan (Öppnas i ny flik)

Behörighet

Grundläggande behörighet för avancerad nivå
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från ovan krav.

Särskild behörighet

Engelska 6
Sökande med en programregistrering på ett program där kursen ingår i programplanen undantas från ovan krav.

Kursspecifika förkunskaper

Sannolikhetsteori motsvarande en första kurs i matematisk statistik.

Någon erfarenhet av datoranvändning såsom exempelvis grunderna i Matlab-programmering eller liknande.

Matematikkunskaper motsvarande vad som läres ut på grundnivå på relativt matematikinriktade utbildningar såsom TM eller F.

Syfte

Ge god förståelse av och förmåga att använda de aspekter av stokastisk analys och stokastiska differentialekvationer som är viktigast i såväl tekniska och naturvetenskapliga tillämpningar som i vidare matematisk och matematisk statistisk teoribyggnad.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

Redogöra för definierande egenskaper för stokastiska differentialekvationer och deras lösningar samt färdighet i användning av grundläggande lösningsmetoder för dem inkluderande kvadratrisk variation, martingaltekniker och Itos formel.

Redogöra för sambandet mellan lösningar till stokastiska differentialekvationer och lösningar till vissa (deterministiska) partiella differentialekvationer både principiellt teoretiskt samt i form av tillämpade beräkningsexempel.

Redogöra för byte av sannolikhetsmått och drift för lösningar till stokastiska differentialekvationer både principiellt teoretiskt samt i form av tillämpningar på statistisk slutledning.

Redogöra för grundläggande principer för numerisk lösning av stokastiska differentialekvationer enligt kurslitteraturen både principiellt teoretiskt samt i form av tillämpade beräkningsexempel.

Innehåll

Variation och kvadratisk variation av funktioner. Kort översikt av Riemann-integral, Riemann-Stieltjes-integral och Lebesgue-integral. Introduktion till axiomatisk sannolikhetsteori och abstrakt betingat väntevärde med avseende på sigma-fält. Brownsk rörelse (Wienerprocess) och dess viktigaste egenskaper. Definierande egenskaper för tids- och värdekontinuerliga martingaler och Markovprocesser. Ito-integraler, Ito-integralprocesser och Itos formel. Stokastiska differentialekvationer samt existens, entydighet och Markovegenskap för svaga och starka lösningar av dito. Stokastisk exponent och logaritm samt linjära stokastiska differentialekvationer. Stratonovich version av stokastisk analys. Kolmogorovs ekvationer samt Dynkins formel och Feynman-Kacs formel. Tidshomogena diffusionsprocesser samt explosion, rekurrens, transienter och stationära fördelningar för dito. Byte av sannolikhetsmått för stokastiska variabler. Byte av sannolikhetsmått och drift för lösningar till stokastiska differentialekvationer med tillämpningar på likelihood-principen och statistisk slutledning. Euler metoden för stark och svag numerisk lösning av stokastiska differentialekvationer. Ito-Taylor-utveckling och högre ordningens numeriska metoder.

Organisation

Föreläsningar och räkneövningar.

Litteratur

Kapitel 1-6 och 10 i "Fima C. Klebaner (2012). Introduction to Stochastic Calculus with Applications,  Third Edition, Imperial College Press, London". Stencilmaterial om tillämpningar och numeriska metoder.

Examination inklusive obligatoriska moment

Skriftlig tentamen.

Kursens examinator får examinera enstaka studenter på annat sätt än vad som anges ovan om särskilda skäl föreligger, till exempel om en student har ett beslut från Chalmers om pedagogiskt stöd på grund av funktionsnedsättning.