Dina studier

Kursplan för Inledande matematik

Kursplanen innehåller ändringar
Se ändringar

Kursplan fastställd 2014-02-25 av programansvarig (eller motsvarande).

Kursöversikt

  • Engelskt namnIntroductory course in mathematics
  • KurskodTMV122
  • Omfattning7,5 Högskolepoäng
  • ÄgareTKAUT
  • UtbildningsnivåGrundnivå
  • HuvudområdeMatematik
  • InstitutionMATEMATISKA VETENSKAPER
  • BetygsskalaTH - Fem, Fyra, Tre, Underkänd

Kurstillfälle 1

  • Undervisningsspråk Svenska
  • Anmälningskod 47120
  • Sökbar för utbytesstudenterNej

Poängfördelning

0114 Tentamen 7,5 hp
Betygsskala: TH		7,5 hp
  • 31 Okt 2018 fm SB_MU
  • 08 Jan 2019 em SB_MU
  • 28 Aug 2019 fm SB_MU

I program

Examinator

  • Fredrik Ohlsson

Ersätter

  • TMV120 Inledande matematik
  • TMV121 Inledande matematik

Behörighet

Information saknas

Kursspecifika förkunskaper

Grundläggande behörighet.

Syfte

Kursens syfte är att befästa, fördjupa och vidarutveckla kunskaperna i matematik från gymnasiet och därmed lägga en god grund för vidare studier i framför allt kommande matematikkurser på Z-programmet.

Lärandemål (efter fullgjord kurs ska studenten kunna)

Generellt
Efter genomgången kurs ska du självständigt i problemlösning kunna hantera differentialkalkyl av funktioner bildade ur de elementära funktionerna. I samband med detta ska du också kunna välja lämpliga teoretiska resultat från den allmänna funktionsläran att utnyttja och ha viss kännedom om deras grund. Du ska kunna lösa små linjära ekvationssystem för hand med Gausselimination och generellt med MATLAB, samt bestämma antalet lösningar till system. Utöver detta ska du kunna hantera vektorer och ekvationer för linjer och plan i rummet och göra beräkningar med hjälp av dem.
Vad gäller MATLAB ska du dessutom kunna hantera gränssnittet, rita grafer till funktioner, lösa ekvationer med intervallhalvering och Newtons metod, samt använda kontrollstrukturer vid enklare beräkningsuppgifter och enklare program skrivna som script.

Linjära ekvationssystem
Du skall kunna lösa linjära ekvationssystem med Gausselimination (radreduktion) och du skall kunna avgöra om ett ekvationssystem har entydig lösning, oändligt många lösningar eller saknar lösningar. För att klara detta bör du bland annat lära dig:
  • Skriva och tolka ett ekvationssystem på matrisform.
  • De elementära radoperationerna.
  • Begreppen pivotelement, trappstegsform och reducerad trappstegsform.
  • att förstå innebörden av fria variabler
Vektorräkning
Du skall kunna addera vektorer och multiplicera vektorer med tal (skalärer). Du skall också kunna åskådliggöra dessa operationer grafiskt. Du skall även kunna beräkna vektorers längd och kunna normera vektorer liksom beräkna skalär- och kryss-produkter och förstå den geometriska innebörden av detta. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:
  • Sambandet mellan geometriska vektorer och trippler av tal.
  • Att skilja på och förstå sambandet mellan en punkt i rummet/planet och tillhörande lägesvektor.
  • Definitionen av vektoraddition.
  • Innebörden av, samt att kunna beräkna skalär- och vektorprodukter.
Plan och linjer
Du skall kunna beskriva plan och linjer i rummet med ekvationer samt beräkna/avläsa normalvektorer till plan och riktningsvektorer till linjer. Du skall också kunna tillämpa skalär- och vektorprodukt för att göra längd- och avståndsberäkningar, t.ex. beräkna avståndet mellan en punkt och ett plan. För att klara detta bör du bland annat lära dig:
  • Förstå korrespondensen mellan plan/linjer och ekvationssystem.
  • Innebörden av, samt att kunna beräkna skalär- och vektorprodukter.
  • Använda ortogonal projektion av en vektor längs en annan.
Gränsvärden
Du skall förstå innebörden av gränsvärden av typen limx→±∞f(x), limx→ag(x), etc., och du skall kunna beräkna enkla sådana gränsvärden. Du skall också känna till begreppen höger- och vänstergränsvärden och veta att en funktion, f(x), är kontinuerlig i en punkt, a, precis när limx→a+f(x)=limx→a−f(x)=f(a). För att klara detta behöver du bland annat lära dig:
  • Definitionen av gränsvärde.
  • Räkneregler för gränsvärden. Du ska också kunna bevisa vissa av dem.
  • Vissa standardgränsvärden, t.ex. limx→0sin(x)/x=1, limx→0(ex−1)/x=1,limx→0ln(1+x)/x=1,...
  • Använda l'Hospitals regel.
Grundläggande funktionslära
Du skall kunna avgöra en given funktions definitionsmängd och i speciella fall även dess värdemängd. Du skall också kunna sätta samman funktioner och veta när det är möjligt. Givet grafen av en funktion skall du kunna avgöra om funktionen är kontinuerlig och/eller inverterbar. Du bör även kunna översätta en med ord definierad funktion till en matematisk funktion. För att klara detta bör du bland annat lära dig:
  • Begreppen definitionsmängd och värdemängd.
  • Sammansättning av funktioner.
  • Vad invers funktion är och när den finns.
  • Innebörden av kontinuitet.
  • innebörden av de grundläggande satserna om kontinuerliga funktioner: max/min-saten, satsen om mellanliggande värden och att värdemängden till en kontinuerlig funktion definierad på ett intervall är ett intervall.
Trigonometriska funktioner
Du skall känna till de grundläggande trigonometriska funktionerna sinx, cosx och tanx, veta deras derivator och kunna rita deras grafer. Du skall kunna beräkna t.ex. sin(a) för vissa speciella a och du skall kunna lösa enkla trigonometriska ekvationer. Du skall även kunna använda trigonometriska funktioner för att solvera trianglar. För att klara detta bör du bland annat lära dig:
  • De trigonometriska funktionernas definitions- och värdemängder.
  • Sambandet mellan enhetscirkeln och de trigonometriska funktionerna.
  • Additions- och subtraktionsformlerna (inkluderat formler för dubbla vinkeln).
  • Sinus- och cosinussatserna.
  • Trigonometriska ettan.
Arcusfunktioner
Du ska kunna hantera beräkningar med som innehåller arcusfunktionerna och veta deras värden i de fall då svaret är kända vinklar. Du ska veta hur de är definierade, deras definitions- och värdemängder och deras derivator. Speciellt viktiga är funktionerna arcsinx och arctanx. För arctanx ska du också känna till dess gränsvärden när x→±∞. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:
  • De trigonometriska funktionernas definition och egenskaper.
  • Arcusfunktionernas definition.
  • Arcusfunktionernas derivata.
  • Hantera sammansättning mellan arcusfunktion och en trigonomtrisk .
  • Kunna använda trigonometriska formler (t.ex additionsformler).
Logaritmer och exponentialfunktioner
Du skall känna till funktionerna ln x och ex, kunna rita deras grafer och beräkna deras derivator. Du skall också kunna beräkna gränsvärden för funktioner som innehåller logaritm- och exponentialfunktioner. För att klara detta bör du bland annat lära dig:
  • Logaritm- och exponentialfunktionernas definitions- och värdemängder
  • Standardgränsvärden, t.ex. limx→0ln(1+x)/x=1, limx→∞xk/ex=0, etc.
  • Logaritmlagar och räkneregler för exponenter
  • Att lnx och ex är varandras inverser, dvs. att x=eln x om x>0 och att x=ln(ex) för alla x.
Derivata
Du skall förstå sambandet mellan derivata och riktningskoefficient och du skall kunna beräkna tangenter och normaler till kurvor. Du skall också kunna beräkna derivator (bland annat av inversa funktioner) och du skall kunna använda derivata för att avgöra var en funktion är växande/avtagande och konvex/konkav. Du bör kunna förstå och tillämpa medelvärdessatsen. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:
  • Derivatans definition.
  • Deriveringsregler, t.ex. kedjeregeln, produktregeln och kvotregeln. Du ska kunna bevisa vissa regler.
  • Derivator av enkla funktioner, t.ex. polynom, trigonometriska funktioner, logaritmer och exponentialfunktioner. Du ska också kunna härleda (bevisa) derivatorna.
  • Implicit derivering.
Allmän funktionslära
Du skall kunna avgöra på vilka intervall en given funktion är växande/avtagande respektive konvex/konkav samt förstå innebörden av detta; exempelvis att en strängt växande funktion är inverterbar. Du ska också veta att deriverbarhet medför kontinuitet (men inte omvänt) och du skall kunna bestämma tangentlinjen till en given funktion i en given punkt. Du bör förstå och kunna tillämpa max-min-satsen och satsen om mellanliggande värden, t.ex. för att visa att vissa ekvationer har lösning(ar). För att klara detta bör du bland annat lära dig:
  • Innebörden av kontinuitet.
  • Max-min-satsen.
  • Satsen om mellanliggande värden.
  • Hur man med derivata avgör om en funktion växer eller avtar på ett intervall.
  • Derivatans definition och innebörd.
  • Andraderivatans innebörd.
Optimering
Du skall känna till att en kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall har ett största och ett minsta värde. Du skall också kunna beräkna lokala extrempunkter och kunna bestämma lokala och globala maximum och minimum. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:
  • Max-min-satsen
  • Göra tecekn studier för derivatan.
  • Att max och min antas antingen i punkter x där f¿(x)=0, i randpunkter, eller punkter där f inte är deriverbar.
  • Att en funktion kan sakna största och minsta värde på ett intervall där inte båda ändpunkterna ingår, även om den är kontinuerlig.
  • Ta hänsyn till gränsvärden då variabeln går mot ett intervalls ändpunkter.
Modellering och optimering
Du skall kunna göra matematiska modeller för enkla geometriska och fysiska problem. De resulterande matematiska problemen, som ofta blir optimeringsproblem, skall du kunna lösa. För att klara detta behöver du bland annat lära dig:
  • Att översätta "verkliga" problem till matematiska problem.
  • Hitta maximum och minimum (se optimering),
  • Tillgodogöra dig stora delar av kursen!
Asymptoter
Givet en funktion skall du kunna avgöra om den har vertikala, horisontella och/eller sneda asymptoter och i så fall kunna beräkna dessa. För att klara detta bör du bland annat lära dig:
  • Vad en asymptot är.
  • Beräkna (höger- och vänster-) gränsvärden.
  • Att vertikala asymptoter kan finnas där funktionen är odefinierad.
  • Att eventuella horisontella och sneda asymptoter kan hittas genom att undersöka funktionens beteende då x→±∞.
Rita grafer
Att rita en graf betyder mer än att rita en kurva i ett koordinatsystem. Det är en populär tentamensuppgift, eftersom det prövar många olika kunskaper som ingår i kursen. När du ritar en graf ska du (oftast) bestämma
  • Funktionens definitionsmängd.
  • Eventuella nollställen till funktionen.
  • Eventuella lodräta, sneda och vågräta asymptoter.
  • För lodräta asymptoter ska du utreda (oegentliga) höger- och vänstergränsvärden av funktionen.
  • För sneda och vågräta ska du utreda gränsvärde av funktionen när \(x\rightarrow\pm\infty\).
  • Var funktionen är växande respektive avtagande och lokala extrempunkter.
  • Eventuellt var funktionen är konkav (konkav nedåt) eller konvex (konkav uppåt).
  • Funktionens värdemängd.
För att klara detta behöver du bland annat kunna
  • Beräkna gränsvärden.
  • Lösa ekvationer.
  • Derivera.
  • Avgöra derivatans tecken på olika delar av tallinjen. Här behöver du kunna lösa olikheter.
  • Eventuellt avgöra andraderivatans tecken på olika delar av tallinjen.
  • Avgöra om en funktion har ett lokalt max eller min i en kritisk punkt.
  • Avgöra om en funktion har ett största eller ett minsta värde.
  • Tolka det du kommer fram till genom att illustrera med en skiss.

Innehåll

Linjära ekvationssystem
Vektoralgebra i rummet och i planet
Analytisk geometri: ekvationer för linjer och plan samt avståndberäkningar.
Gränsvärden
Grundläggande funktionslära
Trigonometriska funktioner
Arcusfunktioner
Logaritmer och exponentialfunktioner
Derivata
Allmän funktionslära
Optimering
Modellering och optimering
Asymptoter
Grafkonstruktion
Matlab

Organisation

Undervisningen ges i form av föreläsningar samt lektioner i mindre grupper. Laborationer vid dator i porgramvaran Matlab. Mer detaljerad information ges på kursens webbsida före kursstart. I kursen kan det ingå duggor i elektronisk miljö.

Litteratur

Kurslitteratur anges på kursens webbsida före kursstart.

Examination inklusive obligatoriska moment

Mer detaljerad information om examinationen ges på kursens webbsida före kursstart.
Exempel på examinationsformer som kan förekomma är:
- elektroniska duggor under kursens gång
- skriftlig eller muntlig tentamen i slutet av kursen.
- problem/uppgifter som löses med dator och redovisas skriftligt vid dator.

Kursplanen innehåller ändringar

  • Ändring gjord på tentamen:
    • 2019-05-08: Plats Plats ändrat från Johanneberg till SB Multisal av grunnet
      [2019-08-28 7,5 hp, 0114]
    • 2018-11-08: Plats Plats ändrat från Johanneberg till SB Multisal av TENTAMENSADM
      [2019-01-08 E, 0114]
    • 2018-09-07: Plats Plats ändrat från Johanneberg till SB Multisal av TENTAMENSADM
      [2018-10-31 F, 0114]
  • Ändring gjord på kurstillfälle:
    • 2018-10-26: Examinator Examinator ändrat från Martin Hallnäs (hallnas) till Fredrik Ohlsson (freohl) av Viceprefekt
      [Kurstillfälle 1]