Högre-dimensionella strukturer på hyperytor

Startdatum 2018-01-01
Slutdatum 2022-12-31

​Att förstå om en ekvation har lösningar, och i så fall hur många, är ett centralt tema i talteori och matematik överhuvudtaget. Låt F(x1,…, xs) vara ett polynom i s variabler med heltaliga koefficienter, och betrakta ekvationen F(x1,…, xs) = 0. Vi vill då veta hur många heltalslösningar det finns till denna ekvation. Svaret beror naturligtvis på hur stort s är, men om det är tillräckligt stort så förväntar man sig att det alltid finns många lösningar. Det är också fallet enligt en klassisk sats av Birch, som ger en uppskattning av antalet lösningar. Sådana ekvationer förekommer i många olika sammanhang, bland annat inom dynamiska system, analys, och till och med inom fysik. Det betyder att en bättre förståelse av sådana ekvationer får konsekvenser inte bara för talteorin utan även för flera andra områden i matematiken.

I min forskning strävar jag efter att generalisera problemet genom att inte bara uppskatta antalet lösningar, utan även att bättre förstå hur dessa fördelas geometriskt. Lösningarna till ekvationen F(x1,…, xs)= 0 ligger på en krökt yta i den s-dimensionella rymden, och om dimensionen är tillräckligt stor förväntar man sig att det finns många räta linjer och plan på ytan. I projektet ska jag modifiera Birchs argument för att ge en uppskattning av antalet sådana linjer och plan. Ett sådant resultat skulle ge en ökad kunskap om fördelningen av heltaliga punkter och därmed göra det enklare att studera den i mer komplicerade sammanhang. Jag har också för avsikt att uppskatta antalet heltaliga punkter på krökta kurvor på ytan. Detta har inte gjorts tidigare och skulle vara värdefullt för att få en bättre förståelse av hur geometrin för sådana ytor påverkar de heltaliga lösningarna till ekvationen.

​Vetenskapsrådet

Publicerad: fr 02 feb 2018.