MVEX01-18-25 Om Letacs princip och liknande konvergenssatser för Markovkedjor/itererade funktionssystem

Letacs princip är en sats som ger vissa villkor för när ett itererat funktionssystem har en fixpunkt, i termer av Lipschitzkonstanterna för de slumpmässiga funktionerna. Specifikt skall denna slumpmässiga Lipschitzfunktion vara ”kontraherande i genomsnitt”, vilket gör det möjligt att via ett resonemang mycket likt det i Banachs fixpunktssats bevisa konvergens. Satsen ger också att konvergensen mot fixpunkten är geometriskt snabb.

Syftet med detta projekt är huvudsakligen att undersöka denna Letacs sats och dess bevis och om möjligt göra nyttjandet av Banachs fixpunktssats mer explicit i ett nytt bevis. Det är även av intresse att undersöka om det går att få varianter på satsen genom att nyttja andra liknande fixpunktssatser. Specifikt vore det önskvärt att undersöka ifall fallet med ett itererat funktionssystem som verkar på ett partiellt ordnat rum med ordningsbevarande funktioner – vilket motsvarar en slags monoton Markovkedja – går att angripa med hjälp av en fixpunktssats för partiellt ordnade rum, såsom Knaster-Tarskis fixpunktssats.

Andra möjliga uppslag, i mån av tid och intresse, är att undersöka algebraiska egenskaper hos sådana itererade funktionssystem, olika sorters dualer till IFSer, eller undersöka specifika IFSer och vad de har för fixpunkt. Det sistnämnda har en koppling till teorin om fraktaler och kan ge vackra bilder.

Se huvudsakligen Diaconis & Freedman (1999) och källorna däri för mer om Letacs princip och om itererade funktionssystem i allmänhet. För de andra möjliga uppslagen, se Högnäs & Mukherjea (2010) eller Steinberg (2016) för den algebraiska delen, och Jansen & Kurt (2014) för mer om dualer till Markovkedjor. Diaconis & Freedman behandlar även fraktalerna.

Obs! För GU-studenter räknas projektet som ett projekt i Matematisk Statistik (MSG900/MSG910).​

Projektkod MVEX01-18-25
Gruppstorlek 3
Förkunskapskrav Reell analys samt måtteoretisk sannolikhetsteori (alltså ”Sannolikhetsteorins grunder” eller motsvarande), helst även någon ytterligare kurs i ren sannolikhetsteori och i analys. Om den algebraiska vägen skall tas behövs även någon kurs i algebra.
Handledare Serik Sagitov, serik@chalmers.se
Examinator Maria Roginskaya, Marina Axelson-Fisk
Institution Matematiska vetenskaper

Publicerad: må 30 okt 2017. Ändrad: fr 03 nov 2017