MVEX01-16-24 Logiska metoder i Analys

Följande är två grundläggande sätt på vilka logiska metoder interagerar med analys:

1. Det intuitiva men logiskt vaga begreppet infinitesimaler blev "förbjudet" inom analys efter att den logiskt precisa "epsilon-delta-metoden" utvecklades av Weierstrass på 1800-talet. På 60-talet använde Abraham Robinson verktyg inom matematisk logik (närmare bestämt modellteori) för att åter legitimera användningen av infinitesimaler. Robinsons metodik har visat sig vara ett mäktigt tekniskt och pedagogiskt redskap, och ledde till området "icke-standardanalys", vars principiella motiv är att bruka ramverket av ett berikat talsystem som innehåller såväl infinitesimala som infinita kvantiteter, för att slå fast resultat i "standard"-analys. 

2. Låt M vara en struktur (så som ringen av heltal, det ordnade fältet av reella tal, eller fältet av komplexa tal), och låt Th(M) ("the theory of M") vara mängden av satser i predikatlogik som är sanna i M. Logiker har studerat Th(M) intensivt för olika strukturer. Till exempel visade Tarski att för M = fältet av reella tal, och för M = fältet av komplexa tal, kan Th(M) genereras av en ändlig mängd axiom.

Tarskis theorem är djupgående och har funnit många applikationer inom analysen. Bland annat använde Tarski det för att visa fullständighet av en viss axiomatisering av Euklidisk geometri.

I detta projekt ska vi studera dessa logiska metoder, hur bevis kan konkretiseras medelst infinitesimaler, och kopplingen mellan klasser av matematiska strukturer och deras syntaktiska beskrivning.

Projektet är lämpligt för GU-studenter med inriktning mot matematik men också för chalmersstudenter med extra intresse för logik.

Obs! För GU-studenter räknas projektet som ett projekt i Matematik (MMG900/MMG910).

Projektkod MVEX01-16-24
Gruppstorlek 3-4
Handledare Ali Enayat, ali.enayat@gu.se, Ulf Persson, ulfp@chalmers.se
Examinator Maria Roginskaya
Institution Matematiska vetenskaper

Publicerad: ti 03 nov 2015. Ändrad: ti 05 feb 2019