MVEX01-14-08 Geometri i höga dimensioner

Vår intuition för geometri kommer främst från observationer i 2 och 3 dimensioner. Förvånansvärt ofta är den missvisande i högre dimensioner.

 
Ett enkelt exempel på detta är det faktum att volymen av enhetsbollen B^n, det vill säga bollen i R^n med centrum i origo och radie 1, går mot 0 då n går mot oändligheten. Ett annat är fenomenet volymkoncentration: när $n$ går mot oändligheten kommer volymen av B^n att koncentreras i området nära randen. Mer precist gäller att om B^n_r är bollen i R^n med centrum i origo och radie r, så gäller att kvoten mellan volymen av B^n\B^n_r och volymen av B^n går mot ett när n växer, om r<1.

Ett mer spektakulärt exempel är Busemann-Petty-problemet: Låt A och B vara två kroppar i R^n som är konvexa och symmetriska vid spegling i origo. Antag att man vet att vol(A \cap H) <=vol(B \cap H) för varje (n-1)-dimensionellt plan H genom origo i R^n. Följer det då att vol(A)<= vol(B)?  Problemet formulerades 1956 men löstes helt först i slutet av
90-talet: Svaret är ja för n<= 4, men nej i allmänhet för n>= 5!
 
Projektet är tänkt att bestå av litteraturstudier samt utforskande av exempel.

 

Projektet är lämpligt för studenter vid alla civilingenjörsprogram på Chalmers eller matematikstudenter på GU.

 

Projektkod MVEX01-14-08
Gruppstorlek 2-4
Speciella förkunskapskrav Grundkurser i matematik, gärna med extra inslag av algebra.
Handledare  Elin Götmark och Elizabeth Wulcan
Examinator Maria Roginskaya
Institution Matematiska vetenskaper

Publicerad: on 23 okt 2013. Ändrad: ti 29 okt 2013