MVEX01-14-08 Geometri i höga dimensioner

Vår intuition för geometri kommer främst från observationer i 2 och 3 dimensioner. Förvånansvärt ofta är den missvisande i högre dimensioner.

 
Ett enkelt exempel på detta är det faktum att volymen av enhetsbollen B^n, det vill säga bollen i R^n med centrum i origo och radie 1, går mot 0 då n går mot oändligheten. Ett annat är fenomenet volymkoncentration: när $n$ går mot oändligheten kommer volymen av B^n att koncentreras i området nära randen. Mer precist gäller att om B^n_r är bollen i R^n med centrum i origo och radie r, så gäller att kvoten mellan volymen av B^n\B^n_r och volymen av B^n går mot ett när n växer, om r<1.

Ett mer spektakulärt exempel är Busemann-Petty-problemet: Låt A och B vara två kroppar i R^n som är konvexa och symmetriska vid spegling i origo. Antag att man vet att vol(A \cap H) <=vol(B \cap H) för varje (n-1)-dimensionellt plan H