En dag i augusti månad 1834 observerade den då unga ingenjören John
Scott Russel ett nytt fascinerande fenomen: en båt som bogserades av
hästar längs Union Canal i Skottland stannade plötsligt och en stor
'ensam' våg bildades vid båtens för och började färdas längs kanalen
utan synbara förändringar i varken form eller fart. Russel red efter
vågen och lyckades följa dess färd längs kanalen flera kilometer innan
den till slut försvann längs kanalens vindlingar. Denna typ av vågor som
Russel upptäckte fick (långt) senare namnet solitoner.
Russels observation och hans efterföljande experimentella arbete
ansågs av många samtida vetenskapsmän som högst kontroversiella eftersom
de inte kunde förklaras med existerande teorier och matematiska
modeller för vattenvågor. Det dröjde till 1877 innan den franska
matematikern och fysikern Joseph Boussinesq introducerade en ekvation,
som senare fick namnet Korteweg-de Vries ekvation (pga. dess
återupptäckt av Diederik Korteweg och Gustav de Vries), som gav en
matematisk model för Russels `ensamma' vågor.
Nästa stora framsteg i solitonens historia ägde rum först under
1960-talet: i numeriska simuleringar av Korteweg-de Vries ekvation
upptäckte Zabusky och Kruskal samma beteenden som Russels solitoner och
något senare lyckades Gardner, Greene, Kruskal och Miura explicit
konstruera ekvationens lösningar. Denna utveckling ledde till ett enormt
intresse för solitonekvationer, såväl deras matematiska egenskaper som
deras många tillämpningar, vilka nu inkluderar olika former av
vattenvågor, supraledare, akustiska vågor i kristaller och mycket mer.
Projektet är huvudsakligen en litteraturstudie kring solitoner och
Korteweg-de Vries ekvation: studenterna kommer studera ekvationens
ursprung och hur den kan lösas med hjälp av den så kallade inversa
spridningstransformationen, en icke-linjär kusin till
Fouriertransformen. Om intresse finns, kan exempel på tillämpningar och
datorsimuleringar av lösningar också ingå i projektet.
Projektkod MVEX01-20-01
Gruppstorlek 3-6 studenter
Målgrupp
GU- och Chalmersstudenter. För GU-studenter kan projektet räknas som
ett projekt i Matematik eller Tillämpad matematik
(MMG900/MMG910/MMG920).
Projektspecifika förkunskapskrav Fourieranalys
Se
respektive kursplan för allmänna förkunskapskrav. Utöver de allmänna
förkunskapskraven i MVEX01 ska Chalmersstudenter ha avklarat kurser i
en- och flervariabelanalys, linjär algebra och matematisk statistik.
Handledare Martin Hallnäs
Examinator Maria Roginskaya, Ulla Dinger
Institution Matematiska vetenskaper