MVEX01-19-23 Att lösa diofantiska ekvationer med hjälp av Fourieranalys

​Lagranges sats säger att varje heltal kan skrivas som en summa av högst fyra kvadrattal. På 1700-talet frågade E. Waring om likadana påståenden gäller även för högre potenser: Finns det något tal G(k) sådant att varje (tillräckligt stort) heltal kan skrivas som en summa av k-te potenser där antalet termer är högst G(k)? Frågan blev känd under namnet Waringska problemet och är fortfarande inte fullständigt utredd: Vi vet att ett sådant tal G(k) existerar och är ändligt för alla k, men värdet är bara känt i fallen k = 2 och k = 4. Att hitta övre gränser för G(k) är fortfarande ett hett forskningsområde med stora genombrottsresultat under de senaste åren.

Vi ska närma oss frågan från ett Fourier-analytiskt håll och lära oss de viktigaste teknikerna om hur ett sådant problem kan angripas. Genom att Fourier-transformera indikatorfunktionen på lösningsmängden kan vi uttrycka lösningsantalet som en oscillerande integral, som kan utvärderas i ett samspel mellan metoder ur talteori (för huvudtermen) och medelvärdesuppskattningar ur harmonisk analys (som hjälper att kontrollera feltermerna).
Målet är att förstå teorin bakom det klassiska resultatet att G(k) ≤ 2^k + 1. I mån av tid, intresse och gruppstorlek kan vi även titta på modernare metoder som ger mycket starkare resultat.

Projektkod MVEX01-19-23
Gruppstorlek 3-6 studenter
Målgrupp GU- och Chalmersstudenter. För GU-studenter räknas projektet som ett projekt i Matematik (MMG900/MMG910).
Projektspecifika förkunskapskrav Elementär talteori (kongruenser etc) och lite Fourieranalys.
Se respektive kursplan för allmänna förkunskapskrav. Utöver de allmänna förkunskapskraven i MVEX01 ska Chalmersstudenter ha avklarat kurser i en- och flervariabelanalys, linjär algebra och matematisk statistik.
Handledare Julia Brandes, brjulia@chalmers.se
Examinator Maria Roginskaya, Ulla Dinger
Institution Matematiska vetenskaper

Publicerad: ti 23 okt 2018. Ändrad: må 17 dec 2018