MVEX01-19-01 Ensamma vågor och Korteweg-de Vries ekvation

En dag i augusti månad 1834 observerade den då unga ingenjören John Scott Russel ett nytt fascinerande fenomen: en båt som bogserades av hästar längs Union Canal i Skottland stannade plötsligt och en stor 'ensam' våg bildades vid båtens för och började färdas längs kanalen utan synbara förändringar i varken form eller fart. Russel red efter vågen och lyckades följa dess färd längs kanalen flera kilometer innan den till slut försvann längs kanalens vindlingar. Denna typ av vågor som Russel upptäckte fick (långt) senare namnet solitoner.

Russells observation och hans efterföljande experimentella arbete ansågs av många samtida vetenskapsmän som högst kontroversiella eftersom de inte kunde förklaras med existerande teorier och matematiska modeller för vattenvågor. Det dröjde till 1877 innan den franska matematikern och fysikern Joseph Boussinesq introducerade en ekvation, som senare fick namnet Korteweg-de Vries ekvation (pga. dess återupptäckt av Diederik Korteweg och Gustav de Vries), som gav en matematisk model för Russels `ensamma' vågor.

Nästa stora framsteg i solitonens historia ägde rum först under 1960-talet: i numeriska simuleringar av Korteweg-de Vries ekvation upptäckte Zabusky och Kruskal samma beteenden som Russels solitoner och något senare lyckades Gardner, Greene, Kruskal och Miura explicit konstruera ekvationens lösningar. Denna utveckling ledde till ett enormt intresse för solitonekvationer, såväl deras matematiska egenskaper som deras många tillämpningar, vilka nu inkluderar olika former av vattenvågor, supraledare, akustiska vågor i kristaller och mycket mer.

Projektet är huvudsakligen en litteraturstudie kring solitoner och Korteweg-de Vries ekvation: studenterna kommer studera ekvationens ursprung och hur den kan lösas med hjälp av den så kallade inversa spridningstransformationen, en icke-linjär kusin till Fouriertransformen. Om intresse finns, kan exempel på tillämpningar och datorsimuleringar av lösningar också ingå i projektet. 


Projektkod MVEX01-19-01
Gruppstorlek 3-6 studenter
Målgrupp GU- och Chalmersstudenter.​​ För GU-studenter kan projektet räknas som ett projekt i Matematik eller Tillämpad matematik (MMG900/MMG910/MMG920).
Projektspecifika förkunskapskrav Fourieranalys
Se respektive kursplan för allmänna förkunskapskrav. Utöver de allmänna förkunskapskraven i MVEX01 ska Chalmersstudenter ha avklarat kurser i en- och flervariabelanalys, linjär algebra och matematisk statistik.
Handledare Martin Hallnäs
Examinator Maria Roginskaya, Ulla Dinger
Institution Matematiska vetenskaper

Publicerad: to 11 okt 2018. Ändrad: to 25 okt 2018