MVEX01-22-15 Hodge-uppdelning av vektorfält

​Vektoranalysens huvudsats säger att varje vektorfält kan delas upp i, det vill säga skrivas som summan av,
ett rotationsfritt fält/gradientvektorfält, och ett divergensfritt/solenoidalt fält. Användbarheten av detta resultat motiverar att kalla det för en huvudsats. Ibland talar man om Helmholtz-uppdelningar av vektorfält, och generaliseringar till multivektorfält/differentialformer kallas Hodge-uppdelningar. Matematikern W.V.D. Hodge introducerade sådana uppdelningar av differentialformer på kompakta Riemannmångfalder på 1930-talet för att studera deras topologi/kohomologi.

Vårt mål är att använda sådana uppdelningar av vektorfält för att lösa randvärdesproblem för elliptiska
partiella differentialekvationer. Varje vektorfält på ett givet område D i planet eller rummet kan
Hodge-uppdelas i ett gradientfält och ett divergensfritt fält. Dock måste tangentiella eller normala randvillkor
på ett av dessa två fält krävas. Ett nytt spännande fenomen inträffar också då vi delar vektorfält på en mängd D.
Ett tredje litet fält uppkommer, vilket återspeglar mängdens D:s topologi.

Projektet består av studier av den bakomliggande teorin, men framförallt av FEM-programmering för att
numeriskt genomföra Hodge-uppdelningar. Målet är att åstadkomma kod med vilken vi lätt kan lösa ett flertal
centrala randvärdesproblem, inte bara klassiska Dirichlet och Neumann för Laplace, men t ex randvärdes-
problem för linjära Stokes' ekvationer för vätskeflöden.

Projektkod: MVEX01-22-15
Gruppstorlek: 3-4 studenter

Målgrupp: GU- och Chalmersstudenter. För GU-studenter räknas projektet som ett projekt i Matematik (MMG900/MMG910).
Projektspecifika förkunskapskrav: Partiella differentialekvationer är relevant men inte nödvändigt.
Se respektive kursplan för allmänna förkunskapskrav. Utöver de allmänna förkunskapskraven i MVEX01 ska Chalmersstudenter ha avklarat kurser i en- och flervariabelanalys, linjär algebra och matematisk statistik.
Handledare:
Andreas Rosén, 031-7725365, rosenan@chalmers.se
Examinator:
Maria Roginskaya, Ulla Dinger
Institution:
Matematiska vetenskaper

Sidansvarig Publicerad: to 21 okt 2021.