MVEX01-22-05 Grupper, Grafer och Geometri

​Vissa grupper uppstår naturligt som symmetrier till andra matematiska strukturer, medan andra uppstår på ett mer algebraiskt sätt, exempelvis beskrivna av generatorer och relationer. Ett viktigt tema inom gruppteorin är att konstruera geometriska objekt som kan hjälpa oss förstå strukturen hos grupper.

I det här kandidatarbetet skall vi fokusera på interaktionen mellan grupper och grafer, som är enkla att definiera men har en fascinerande komplexitet. Å ena sidan skall vi se hur man kan visualisera grupper med hjälp av grafer. Å andra sidan skall vi konstruera en grupp från varje graf, kallad dess fundamentalgrupp, som på ett precist sätt kvantifierar antalet oberoende cykler på grafen. Fundamentalgrupper är fria, det vill säga de kan beskrivas med hjälp av generatorer som inte har några relationer mellan sig. Fria grupper är viktiga i gruppteorin, då varje grupp är en kvot av en fri grupp. I stark kontrast så är en delgrupp av en fri grupp också fri. Beviset för det är en vacker tillämpning av interaktionen mellan grupper och grafer, och kommer vara huvudmålet för kandidatarbetet.

Intresserade studenter får gärna kontakta Christian Johansson för mer information.

Projektkod: MVEX01-22-05
Gruppstorlek: 3-4 studenter
Målgrupp:
GU- och Chalmersstudenter från F och TM, som är intresserade av ren matematik. För GU-studenter räknas projektet som ett projekt i Matematik (MMG900/MMG910).
Projektspecifika förkunskapskrav:
Grundläggande kunskaper om grupper (del- och kvotgrupper, gruppverkan, etc.) som mer än väl täcks av kursen Algebraiska strukturer. Inga förkunskaper om grafer krävs.
Se respektive kursplan för allmänna förkunskapskrav. Utöver de allmänna förkunskapskraven i MVEX01 ska Chalmersstudenter ha avklarat kurser i en- och flervariabelanalys samt linjär algebra.
Handledare: Christian Johansson, chrjohv@chalmers.se 
Examinator:
Maria Roginskaya, Ulla Dinger
Institution:
Matematiska vetenskaper


Sidansvarig Publicerad: må 11 okt 2021.