Periodiska systemet för finita element

​Grundämnenas periodiska system är väl känt. Nu finns ett liknande system för att hålla reda på finita element, de små funktionsrum som används för att lösa differentialekvationer. Anders Logg har varit med och utformat systemet, som just nu sprids i den akademiska världen i form av planscher, programvara – och kortlekar.

Kortlek periodiska systemetDe grundläggande ekvationer som formuleras inom de flesta naturvetenskaper är differentialekvationer – som Schrödingers ekvation som beskriver kvantfysiken, Einsteins ekvation för den allmänna relativitetsteorin och Maxwells ekvationer som beskriver elektromagnetism. Ett grundläggande verktyg när man löser differentialekvationer numeriskt är funktionsrum. De exakta lösningarna kan man hitta i oändligdimensionella funktionsrum, men de är till sin natur svårfunna. Istället konstruerar man diskreta, d v s ändligdimensionella funktionsrum i vilka man kan finna approximativa lösningar som ligger tillräckligt nära den exakta lösningen. Ju större funktionsrum man kan räkna med desto bättre, så länge de är ändligdimensionella går det ändå att beräkna dem i en dator.

Man delar in rummet i små delar, som t ex kan vara kuber eller tetraeder, beroende på hur rummet ser ut och dess egenskaper. Olika sätt att utforma dessa smådelar, de finita elementen, är lämpliga för olika ekvationer – Anders exemplifierar med Nédélecs kantelement, som är lämpligt för Maxwells ekvationer. Under 1900-talet har allt fler element utformats, till en början trevande men från omkring 1949, då pionjären Richard Courant publicerade ett viktigt arbete, i allt större mängder.

För några år sedan insåg Douglas N. Arnold, University of Minnesota, att man skulle kunna systematisera de finita elementen. Han hade tidigare konstruerat en yttre algebra för finita element och kategoriserade nu varje element som en differentialform istället för som en funktion, efter parametrarna dimension, polynomgrad och formgrad. Anders har under en tid arbetat med hur man på bästa sätt skall implementera de finita elementen och använda dem för att lösa avancerade differentialekvationer, och tillsammans bestämde sig Anders och Douglas för att arbeta fram en grafisk presentation av systemet​.

I systemet finns de allra flesta kända finita element, och alla de grundläggande. Vissa så kallade exotiska funktioner passar fortfarande inte in men skulle kunna göra det i en utökad tabell. Ett par grupper av finita element beskrevs nu för första gången, eftersom man såg luckor i systemet, och Douglas och Anders fick också bestämma vad de mer okända elementen skulle heta. Systemet har spridits som plansch i 15 000 exemplar genom tidningen SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) News och hänger nu på väldigt många matematikinstitutioner världen över.

Systemet håller också på att implementeras i mjukvaran FEniCS. Anders var med och startade detta Open Source-projekt för tio år sedan med syfte att ta fram metoder och programvara för automatisk lösning av differentialekvationer. Dessa kan normalt inte lösas med papper och penna, och om man börjar programmera från början kan det kräva hundratusentals rader med kod och många års arbetstid. FEniCS är ett litet system som automatiskt tar fram datorkod efter att man angett en differentialekvation, och när man nu för in de finita elementen från det periodiska systemet i FEniCS kan man välja vilket element man vill använda, beroende på vad som är mest lämpat för den differentialekvationen.

FEniCS är nu ett av de två ledande systemen i den akademiska världen för lösning av differentialekvationer och både användare och utvecklare ökar hela tiden. Förutom de självklara användningsområdena matematik och fysik används det även i biomedicin, där man t ex kan använda det för att beräkna flödena av olika kroppsvätskor som blod och ryggmärgsvätska. Fler exempel finns på FEniCS egen sida, http://fenicsproject.org/  

Det periodiska systemet är som sagt redan välspritt. Nyligen gjorde man en spelkortversion av alla 3D-elementen i systemet. Korten visar den matematiska beskrivningen för varje element och kan användas som referens, men då systemet bygger på fyra familjer kan den också användas som en helt vanlig kortlek. Anders hoppas nu att systemet ska bli alltmer rotat och att allt fler får upp ögonen för möjligheten att definiera finita element som differentialformer, vilket gjort det möjligt att systematisera dem och få ordning i kaos.

Text och foto: Setta Aspström


Sidansvarig Publicerad: ti 08 sep 2020.