Exempel på populärvetenskapliga beskrivningar av doktorsavhandlingar


David Witt Nyström
, 8 juni 2012
Okounkov Bodies and Geodesic Rays in Kähler Geometry
Inom algebraisk geometri studerar man geometrin hos lösningsmängder till polynomekvationer. Den tekniska termen för dessa objekt är mångfalder. Ett enkelt exemplet är cirkeln som ges av ekvationen x^2+y^2=1, men i allmänhet kan ytterst komplicerade figurer i många dimensioner uppstå.
1996 fann den ryske matematikern Andrei Okounkov (som fick en Fieldsmedalj 2006) ett sätt att framkalla förenklade bilder av dessa intrikata objekt. Dessa bilder ser lite ut som blobbar, och kallas Okounkov-kroppar efter deras uppfinnare.
Genom att förse en mångfald med en så kallad metrik får den en definitiv form, så att man kan mäta längder, areor och volymer av saker på den. Sättet varpå dess form avviker från att vara platt kallas dess krökning. Notera att i Einsteins generella relativitetsteori är det krökningen hos rumtiden som spelar huvudrollen. Om man jämför volymen av bollen med radie r och centrum i en punkt på mångfalden med volymen med samma radie i det platta rummet, och låter radien gå mot noll, får man något som kallas den skalära krökningen, vilket alltså ges av en funktion på mångfalden. Fältet där man studerar dessa metriska egenskaper hos algebraiska mångfalder kallas Kählergeometri.
De flesta som forskar på Okounkov-kroppar har koncentrerat sig på algebro-geometriska aspekter, medan den första och andra artikeln i avhandlingen introducerar Okounkov-kroppar som ett verktyg inom Kählergeometri. Om Okounkovkroppen ses som en bild av mångfalden så visas i den första artikeln att metriken kan inkorporeras som en graf över den ursprungliga bilden.
Den andra och tredje artikeln finner sin motivation hos ett av de stora olösta problemen inom Kählergeometri, Yau-Tian-Donaldsons förmodan. Denna förmodan säger något om vilka sorters metriker som kan tänkas göra så att den skalära krökningen blir konstant. I formuleringen av problemet dyker någonting som kallas testkonfigurationer upp. Den andra artikeln etablerar en koppling mellan dessa och Okounkov-kroppar.
Den tredje och sista artikeln är resultatet av ett samarbete med matematikern Julius Ross, verksam vid universitetet i Cambridge. En kurva mellan två punkter i en mångfald kallas en geodet om den mellan näraliggande punkter på kurvan alltid tagit den kortaste vägen. En geodetisk stråle är en geodet som fortsätter i all oändlighet i någon riktning. Rummet av metriker man studerar i Kählergeometri är förvisso oändligdimensionellt men man har lyckats visa att det icke förty bär på en vacker och fascinerande geometri. Speciellt kan man tala dess geodeter. I vår artikel presentar vi en allmän konstruktion av geodetiska strålar i detta rum, och kopplar det till tidigare arbeten av professorerna Phong och Sturm från New York.
 
Oscar Hammar, 16 december 2011
Percolation: Inference and Applications in Hydrology
Perkolation handlar om vätskors rörelse i oordnade medier. I ett mycket vardagligt exempel utgörs det oordnade mediet av packade malda kaffebönor i en perkolatorbryggare. Avhandlingen berör matematiska modeller för perkolation.
Den matematiska modellen för det oordnade mediet är stokastisk vilket betyder att modellen till viss del beror av slumpen. Modellen styrs också av ett fåtal parametrar. I en enkel modell med en enda parameter ger ett litet värde på parametern få vägar genom mediet och ett stort värde på parametern många vägar genom mediet. Eftersom modellen är stokastisk ger två realiseringar av modellen inte nödvändigtvis samma antal vägar.
Ett centralt tema i avhandlingen är statistisk slutledning för perkolationsmodeller, d v s att utifrån begränsad information dra slutsatser om parametrarna i modellen.
Som en illustration av det statistiska problemet kan man betrakta en bergmassa med en stor mängd sprickor. I en idealiserad beskrivning av berget utgör sprickorna ett nätverk där vissa sprickor är tillräckligt vida för att vatten skall kunna penetrera medan andra är för trånga. Genom att undersök