Den komplexa analysen är den del av den matematiska analysen där man studerar analytiska, eller holomorfa, funktioner. De enklaste exemplen på analytiska funktioner är polynom i en komplex variabel z, men även t ex exponentialfunktionen exp z och de trigonometriska funktionerna är analytiska. Lokalt, dvs i en liten omgivning av en punkt, kan man alltid beskriva en analytisk funktion med en potensserie; denna kan man se som ett polynom av ”oändlig grad” som konvergerar på lämpligt sätt. Ett utmärkande drag hos en analytisk funktion är att om man känner den i en omgivning av en punkt så känner man den i princip överallt; dvs varje liten del av den bär på all information.
Den grundläggande envariabla komplexa analysen har gamla anor och förekommer i all grundläggande matematikutbildning vid våra tekniska högskolor och universitet. Ett skäl till detta är att många fenomen och problem inom reell analys inte låter sig förklaras eller behandlas utan komplex analys. Även om man exempelvis bara är intresserad av reella homogena lösningar till en linjär ordinär differentialekvation så leds man till att studera alla komplexa nollställen till ett visst polynom.
Förutom vid studiet av ordinära differentialekvationer så förekommer analytiska funktioner i ett antal av våra grundläggande kurser, som Fourieranalys, transformteori mm, och i samband med t ex reglerteknik och signalbehandling.
Att gå från en- till flerdimensionell komplex analys visar sig vara ett stort steg och man stöter genast på nya fenomen och problem. För att nämna bara ett exempel; en funktion av flera variabler som är analytisk i ett område förutom i en punkt (eller en kompakt delmängd) är automatiskt analytisk i hela området.
Teorin för flerdimensionell komplex analys började studeras systematiskt först på 30-talet av Oka, Cartan m fl, och hade då nära anknytning till algebraisk geometri. På 60-talet leddes teorin tillbaka mot den klassiska reella analysen via studiet av linjära partiella differentialekvationer. Detta berodde dels på att studiet av dessa ekvationer ledde till frågeställningar inom flerdimensionell komplex analys på liknande sätt som man behöver envariabel komplex analys vid studiet av ordinära differentialekvationer. Dels beror det på att de analytiska funktionerna helt enkelt är de homogena lösningarna till ett system av partiella differentialekvationer som kallas ∂–-ekvationen.
Ett viktigt område inom flerdimensionell komplex analys är därför studiet av denna ekvation. Frågor som rör existens av analytiska funktioner med vissa givna egenskaper kan ofta omformuleras som existens av lösningar till den inhomogena ∂–-ekvationen.
Denna ekvation kan behandlas på i princip två olika sätt; dels med geometriska och funktionalanalytiska metoder, dels med konstruktiva metoder.
De förstnämnda härrör från 60-talet genom banbrytande arbeten av Hörmander m fl men är fortfarande ett aktivt forskningsområde. De ger huvudsakligen uppskattningar av lösningar i L2-norm men på senare år har man bla i Göteborg utvecklat dem till att ge lösningar i andra normer. Vi har särskilt tillämpat dessa metoder på problem inom den flerdimensionella funktionsteorin.
De konstruktiva metoderna går ut på att representera lösningar med någon slags formel. Man kan använda dessa dels för att visa att det finns lösningar med givna egenskaper, dels att undersöka vilka egenskaper en given lösning har. Genombrottet för dessa metoder kom i början på 70-talet. I Göteborg har vi särkilt studerat lösningsformler för ∂–-ekvationen med olika viktfaktorer vilket ger en ytterligare flexibilitet. Uppskattningar av dessa lösningar leder sedan in på frågeställningar inom harmonisk analys.
Vi har också behandlat den närbesläktade ∂∂–-ekvationen med explicita integralformler.
Denna ekvation motsvaras i en variabel av Laplace ekvation och studiet av lösningar till denna är intimt förknippat med frågeställningar om fördelning av nollställen till analytiska funktioner.
Formler för lösningar till ∂–-ekvationen är nära kopplade till representationsformler för analytiska funktioner. En sådan representationsformel är ett sätt att uttrycka en analytisk funktion som en summa eller integral (ibland en produkt) av, i någon mening, enklare funktioner. Enklaste exemplet är potensserieframställning som är en (oändlig) summa av enkla polynom, monom. Denna framställning fungerar i både en och flera variabler men är bara användbar vid frågor av lokal karaktär. Ofta är man intresserad av en global framställning, dvs en beskrivning av funktionen i hela det området man betraktar. I en variabel används Cauchys integralformel som, utgående endast från funktionens värden på randen till området, beskriver funktionen som en överlagring, en integral, av enkla rationella funktioner. I flera variabler finns ingen enkel motsvarighet till Cauchys integralformel utan man använder olika formler för olika behov. De första representationsformlerna för flervariabla funktioner härrör från 40-talet, men det verkliga genombrottet kom i början på 70-talet när man hittade formler med vars hjälp man kunde generalisera många grundläggande resultat inom funktionsteorin till flera variabler.
En tillämpning av komplex analys är sk funktionalkalkyl för operatorer. I den grundläggande teorin för ordinära differentialekvationer uppkommer behovet av att definiera exp A där A är en kvadratisk matris. Detta kan man ganska enkelt göra med potensserier. Mer allmänt har man även behov av att ge en mening åt f(A) för en funktion f som är analytisk i en omgivning av det sk spektrum för A. Man kan göra detta genom att formellt ersätta den komplexa variabeln z med matrisen A i Cauchys integralformel. Man kan här lika gärna låta A vara operator på ett Hilbertrum eller ett Banachrum.
Om man har flera operatorer A1,…, An som kommuterar, dvs sådana att produkten av ett par av dem inte beror på ordningen av faktorerna, så kan man utan vidare definiera f(A) om f är ett polynom. För att ta steget till mer allmänna analytiska funktioner f så får man använda representationsformler för analytiska funktioner. De senaste åren har vi i Göteborg även studerat generaliseringar av detta till fall när f inte nödvändigtvis är analytisk.
Texten publicerades i skriften Ny kunskap 1999