Bo Berndtsson, Matematik särskilt flerdimensionell komplex analys
Den komplexa analysen är ett klassiskt område av matematiken och grundläggande kurser om funktioner av en komplex variabel ingår sedan länge i matematikutbildningen på universitet och tekniska högskolor. Teorin för funktioner av flera komplexa variabler är av betydligt senare datum och sköt egentligen fart först på 1930-talet med arbeten av Cartan, Oka och Weil. Det hade då visat sig att den flerdimensionella teorin leder till en rad grundläggande problem som helt saknar motsvarigheter i en dimension, och som nödvändiggjorde utvecklandet av helt nya metoder. Vid denna tid var den flerdimensionella komplexa analysen en av de mest esoteriska delarna av matematiken, med starka relationer till algebraisk geometri, och teorin som helhet var förmodligen nästan obegriplig för klassiska analyser. Sedan dess har dock utvecklingen åter gått i riktning mot klassisk analys, och nu spelar teorin för partiella differentialekvationer en huvudroll inom området. Liknande analytiska metoder har också kommit att ha allt större betydelse inom algebraisk geometri, och dess tillämpningar i teoretisk fysik. Samtidigt har den flerdimensionella funktionsteorin mer och mer kunnat angripa problem som har motsvarigheter i den endimensionella teorin, och som har betydelse för tillämpningar inom naturvetenskap och teknik.
Den komplexa analysen handlar huvudsakligen om egenskaperna hos analytiska eller holomorfa funktioner. De enklaste exemplen på sådana funktioner är polynom, men även de vanliga elementära funktionerna som trigonometriska funktioner, exponentialfunktioner etc är alla analytiska. Sambandet mellan komplex analys och partiella differentialekvationer bottnar i det faktum att de analytiska funktionerna är precis de funktioner som löser den sk homogena`∂-ekvationen. Grovt talat kan denna ekvation studeras med två typer av metoder, konstruktiva och icke-konstruktiva. De konstruktiva metoderna löser ekvationen med hjälp av explicita integralformler, medan de icke-konstruktiva metoderna bygger på användande av en abstrakt formalism med funktionalanalys och energiuppskattningar.
De explicita integralformlerna är generaliseringar till flera variabler av Cauchys klassiska integralformel, som ingår i alla grundläggande kurser i ämnet. De flerdimensionella formlerna är av överraskande sent datum, men har använts intensivt sedan 1970-talet. I Göteborg har vi bidragit till denna utveckling genom konstruktionen av sk viktade integralformler. Dessa formler har en extra frihetsgrad, som gör formalismen mer flexibel och tillämpbar på en hel rad olika problem. En sådan tillämpning är studiet av interpolationsproblem, dvs konstruktionen av analytiska funktioner som antar bestämda värden på en given mängd. Interpolationsproblem är i sin tur relaterade till problem utanför den komplexa analysen, som tex integralrepresentationer av lösningar till allmänna differentialekvationer. De viktade integralformlerna har också visat sig användbara i samband med olika varianter av Radontransformen. (Radontransformen är ett sätt att rekonstruera en funktion utifrån kännedom av dess integral över en uppsättning linjer eller plan, och är kanske numera mest känd för sina tillämpningar i datortomografi.)
Ett klassiskt problemområde i komplex analys är samspelet mellan tillväxten hos en funktion och storleken på dess nollställemängd. Detta kan kanske verka som en fråga utan större intresse utanför den trängre kretsen av funktionsteoretiker, men den visar sig ha viktiga tillämpningar inom skilda fält, som tex digital kodning av signaler och datakompression i bildbehandling. Här är också integralformler användbara, men denna gång gäller det integralrepresentation av lösningar till den sk ∂`∂-ekvationen, som i en variabel blir Laplaces ekvation. I detta sammanhang har vi visat det något överraskande resultatet att formler med de önskade egenskaperna existerar i dimension 1, 2 och 3, men inte i högre dimensioner.
De ickekonstruktiva metoderna har också visat sig enormt användbara, och har, särskilt efter ett fundamentalt arbete av L Hörmander på 60-talet, gett upphov till en mycket elegant och kraftfull teori. Nackdelen med dem är dock att de i huvudsak är begränsade till L2-uppskattningar, dvs att de bara ger uppskattning av lösningarna i minsta kvadrat metodens mening. Ett naturligt problem att undersöka är i vilken utsräckning metoderna går att generalisera för att få andra uppskattningar. Detta är ett subtilt problem redan i en dimension och har visat sig ha överraskande relationer till teorin för Riemann-ytor och dess användningar i teoretisk fysik.
(Texten publicerades 1996 i skriften Ny kunskap.)